第3不変量

$ I_3^{\bm A}:=-\frac13\left(\left(I_1^{\bm A}\right)^3-\mathrm{tr}\left(\bm A^3\right)\right)+I_1^{\bm A}I_2^{\bm A}

導出

$ \bm A^3-I_1^{\bm A}\bm A^2+I_2^{\bm A}\bm A-I_3^{\bm A}\bm I=\bm 0

$ \implies\mathrm{tr}\left(\bm A^3\right)-I_1^{\bm A}\mathrm{tr}\left(\bm A^2\right)+I_2^{\bm A}\mathrm{tr}\bm A-I_3^{\bm A}\mathrm{tr}\bm I=0

$ \iff\mathrm{tr}\left(\bm A^3\right)-I_1^{\bm A}\left(\left(I_1^{\bm A}\right)^2-2I_2^{\bm A}\right)+I_2^{\bm A}I_1^{\bm A}-3I_3^{\bm A}=0

$ \iff I_3^{\bm A}=\frac1{3}\left(\mathrm{tr}\left(\bm A^3\right)-I_1^{\bm A}\left(\left(I_1^{\bm A}\right)^2-2I_2^{\bm A}\right)+I_2^{\bm A}I_1^{\bm A}\right)

$ = -\frac13\left(\left(I_1^{\bm A}\right)^3-\mathrm{tr}\left(\bm A^3\right)\right)+I_1^{\bm A}I_2^{\bm A}