偏差tensorの不変量
$ ({\cal\pmb D}:\bm T):({\cal\pmb D}:\bm T)=\bm T:\bm T-\frac1{\mathrm{tr}\bm I}(\mathrm{tr}\bm T)^2
導出
$ ({\cal\pmb D}:\bm T):({\cal\pmb D}:\bm T)=\bm T:{\cal\pmb D}:{\cal\pmb D}:\bm T
$ \because{\cal\pmb D}^\top={\cal\pmb D}
$ = \bm T:{\cal\pmb D}:\bm T
$ \because{\cal\pmb D}:{\cal\pmb D}={\cal\pmb D}
$ = \bm T:\bm T-\frac1{\mathrm{tr}\bm I}(\mathrm{tr}\bm T)^2
他は主不変量$ J_{\bm T},J\!J\!J_{\bm T}と同じなので略
第1不変量$ J_{\bm T}=\mathrm{tr}({\cal\pmb D}:\bm T)=0 偏差第2不変量$ J\!J_{\bm T}=\frac12\frac{1-\mathrm{tr}\pmb I}{\mathrm{tr}\pmb I}{I_{\bm T}}^2+I\!I_{\bm T} 2次元のとき:$ J\!J_{\bm T}=I\!I_{\bm T}-\frac14{I_{\bm T}}^2
3次元のとき:$ J\!J_{\bm T}=I\!I_{\bm T}-\frac13{I_{\bm T}}^2
導出:$ J\!J_{\bm T}=\frac12\left((\mathrm{tr}({\cal\pmb D}:\bm T))^2-\mathrm{tr}\left(({\cal\pmb D}:\bm T)^2\right)\right)
$ =-\frac12\mathrm{tr}\left(({\cal\pmb D}:\bm T)^2\right)
$ =-\frac12({\cal\pmb D}:\bm T)^\top:({\cal\pmb D}:\bm T)
$ =-\frac12(\bm T^\top:{\cal\pmb D}:{\cal\pmb D}:\bm T)
$ \because{\cal\pmb D}^\top={\cal\pmb D}
$ =-\frac12(\bm T^\top:{\cal\pmb D}:\bm T)
$ \because{\cal\pmb D}:{\cal\pmb D}={\cal\pmb D}
$ = \frac12\frac1{\mathrm{tr}\pmb I}(\mathrm{tr}\bm T)^2-\frac12\bm T^\top:\bm T
$ = \frac12\frac1{\mathrm{tr}\pmb I}(\mathrm{tr}\bm T)^2-\frac12{\rm tr}(\bm T^2)
$ =\frac12\frac{1-\mathrm{tr}\pmb I}{\mathrm{tr}\pmb I}{I_{\bm T}}^2+I\!I_{\bm T}
$ \because {\rm tr}\bm T=I_{\bm T}\land I\!I_{\bm T}=\frac12\left(({\rm tr}\bm T)^2-{\rm tr}\left(\bm T^2\right)\right)
$ \implies{\rm tr}\left(\bm T^2\right)={I_{\bm T}}^2-2I\!I_{\bm T}
第2基本不変量の導出と比較すると、$ \bm T^\top=\bm Tのとき以下が成立するとわかる
$ J\!J_{\bm T}=-\frac12({\cal\pmb D}:\bm T):({\cal\pmb D}:\bm T)
偏差第2不変量は負符号が現れるので、$ -をつけて反転させたものを$ J\!J_{\bm T}と定義する文献もある 第3不変量$ J\!J\!J_{\bm T}=\det\pmb T=\det{\cal\pmb D}:\pmb T 2次元の場合は$ J\!J\!J_{\bm T}=J\!J_{\bm T}
$ \sqrt{-J\!J\!J_{\bm T}}が2次元偏差成分に相当する $ J\!J\!J_{\bm T}=0-\frac13(0-{\rm tr}(({\cal\pmb D}:\bm T)^3))
$ =\frac13{\rm tr}(({\cal\pmb D}:\bm T)^3)
$ = \frac13{\rm tr}(\bm T^3)-\left(\frac{{\rm tr}\bm T}{{\rm tr}\bm I}\right){\rm tr}(\bm T^2)+\left(\frac{{\rm tr}\bm T}{{\rm tr}\bm I}\right)^2{\rm tr}\bm T-\frac13\left(\frac{{\rm tr}\bm T}{{\rm tr}\bm I}\right)^3{\rm tr}\bm I
$ ({\cal\pmb D}:\bm T)\cdot({\cal\pmb D}:\bm T)=\left(\bm T-\frac1{{\rm tr}\bm I}({\rm tr}\bm T)\bm I\right)\cdot\left(\bm T-\frac1{{\rm tr}\bm I}({\rm tr}\bm T)\bm I\right)
$ = \bm T^2-\frac2{{\rm tr}\bm I}({\rm tr}\bm T)\bm T+\frac1{({\rm tr}\bm I)^2}({\rm tr}\bm T)^2\bm I
$ ({\cal\pmb D}:\bm T)\cdot({\cal\pmb D}:\bm T)\cdot({\cal\pmb D}:\bm T)=\bm T^3-3\left(\frac{{\rm tr}\bm T}{{\rm tr}\bm I}\right)\bm T^2+3\left(\frac{{\rm tr}\bm T}{{\rm tr}\bm I}\right)^2\bm T-\left(\frac{{\rm tr}\bm T}{{\rm tr}\bm I}\right)^3\bm I
$ = \frac13{\rm tr}(\bm T^3)-\left(\frac{{\rm tr}\bm T}{{\rm tr}\bm I}\right){\rm tr}(\bm T^2)+\frac23\frac{({\rm tr}\bm T)^3}{({\rm tr}\bm I)^2}
$ = \frac13{\rm tr}(\bm T^3)-\frac{I_{\bm T}}{3}{\rm tr}(\bm T^2)+\frac{2{I_{\bm T}}^3}{9}
$ = I\!I\!I_{\bm T}-\frac13I_{\bm T}I\!I_{\bm T}+\frac29{I_{\bm T}}^3
$ = I\!I\!I_{\bm T}+\frac13I_{\bm T}I\!I_{\bm T}-\frac23I_{\bm T}J\!J_{\bm T}
$ J\!J_{\bm\sigma}=-\frac32{\tau_{oct}}^2
$ \cos3\theta=\frac{3^\frac32}{2}\frac{J\!J\!J_{\bm\sigma}}{(-J\!J_{\bm\sigma})^\frac32}
$ = \frac12\frac{J\!J\!J_{\bm\sigma}}{\left(-\frac13J\!J_{\bm\sigma}\right)^\frac32}
$ = \frac12\frac{J\!J\!J_{\bm\sigma}}{\left(\frac12{\tau_{oct}}^2\right)^\frac32}
$ = \frac{2\sqrt2}2\frac{J\!J\!J_{\bm\sigma}}{{\tau_{oct}}^3}
$ = \frac{J\!J\!J_{\bm\sigma}}{{\tau_{oct}}^3}\sqrt2