偏差tensorの不変量
$ ({\cal\pmb D}:\bm T):({\cal\pmb D}:\bm T)=\bm T:\bm T-\frac1{\mathrm{tr}\bm I}(\mathrm{tr}\bm T)^2
導出
$ ({\cal\pmb D}:\bm T):({\cal\pmb D}:\bm T)=\bm T:{\cal\pmb D}:{\cal\pmb D}:\bm T
$ \because{\cal\pmb D}^\top={\cal\pmb D}
$ = \bm T:{\cal\pmb D}:\bm T
$ \because{\cal\pmb D}:{\cal\pmb D}={\cal\pmb D}
$ = \bm T:\bm T-\frac1{\mathrm{tr}\bm I}(\mathrm{tr}\bm T)^2
他は主不変量$ J_1^{\bm{T}},J_3^{\bm{T}}と同じなので略
第1不変量$ J_1^{\bm{T}}=\mathrm{tr}({\cal\pmb D}:\bm T)=0 偏差第2不変量$ J_2^{\bm{T}}=\frac12\frac{1-\mathrm{tr}\pmb I}{\mathrm{tr}\pmb I}{I_1^{\bm{T}}}^2+I_2^{\bm{T}} 2次元のとき：$ J_2^{\bm{T}}=I_2^{\bm{T}}-\frac14{I_1^{\bm{T}}}^2
3次元のとき：$ J_2^{\bm{T}}=I_2^{\bm{T}}-\frac13{I_1^{\bm{T}}}^2
導出：$ J_2^{\bm{T}}=\frac12\left((\mathrm{tr}({\cal\pmb D}:\bm T))^2-\mathrm{tr}\left(({\cal\pmb D}:\bm T)^2\right)\right)
$ =-\frac12\mathrm{tr}\left(({\cal\pmb D}:\bm T)^2\right)
$ \because\mathrm{tr}({\cal\pmb D}:\bm T)=0
$ =-\frac12({\cal\pmb D}:\bm T)^\top:({\cal\pmb D}:\bm T)ー☆
$ =-\frac12(\bm T^\top:{\cal\pmb D}:{\cal\pmb D}:\bm T)
$ \because{\cal\pmb D}^\top={\cal\pmb D}
$ =-\frac12(\bm T^\top:{\cal\pmb D}:\bm T)
$ \because{\cal\pmb D}:{\cal\pmb D}={\cal\pmb D}
$ =-\frac12\bm{T}^\top:\left(\bm{T}-\frac{\mathrm{tr}\bm T}{\mathrm{tr}\bm I}\bm{I}\right)
$ =-\frac12\bm T^\top:\bm T+\frac12\frac1{\mathrm{tr}\pmb I}(\mathrm{tr}\bm T)^2
$ =-\frac12{\rm tr}(\bm T^2)+\frac12\frac1{\mathrm{tr}\pmb I}(\mathrm{tr}\bm T)^2
$ =\frac12\frac{1-\mathrm{tr}\pmb I}{\mathrm{tr}\pmb I}{I_1^{\bm{T}}}^2+I_2^{\bm{T}}
$ \because\mathrm{tr}\left(\bm T^2\right)={I_1^{\bm{T}}}^2-2I_2^{\bm{T}}
導出：
$ {\rm tr}\bm T=I_1^{\bm{T}}\land I_2^{\bm{T}}=\frac12\left(({\rm tr}\bm T)^2-{\rm tr}\left(\bm T^2\right)\right)
$ \implies{\rm tr}\left(\bm T^2\right)={I_1^{\bm{T}}}^2-2I_2^{\bm{T}}
☆より
$ J_2^{\bm{T}}=-\frac12({\cal\pmb D}:\bm T)^\top:({\cal\pmb D}:\bm T)
偏差第2不変量は負符号が現れるので、$ -をつけて反転させたものを$ J_2^{\bm{T}}と定義する文献が多い 第3不変量$ J_3^{\bm{T}}=\det\pmb T=\det{\cal\pmb D}:\pmb T 2次元の場合は$ J_3^{\bm{T}}=J_2^{\bm{T}}
$ \sqrt{-J_3^{\bm{T}}}が2次元偏差成分に相当する $ J_3^{\bm{T}}=0-\frac13(0-{\rm tr}(({\cal\pmb D}:\bm T)^3))
$ =\frac13{\rm tr}(({\cal\pmb D}:\bm T)^3)
$ = \frac13{\rm tr}(\bm T^3)-\left(\frac{{\rm tr}\bm T}{{\rm tr}\bm I}\right){\rm tr}(\bm T^2)+\left(\frac{{\rm tr}\bm T}{{\rm tr}\bm I}\right)^2{\rm tr}\bm T-\frac13\left(\frac{{\rm tr}\bm T}{{\rm tr}\bm I}\right)^3{\rm tr}\bm I
$ ({\cal\pmb D}:\bm T)\cdot({\cal\pmb D}:\bm T)=\left(\bm T-\frac1{{\rm tr}\bm I}({\rm tr}\bm T)\bm I\right)\cdot\left(\bm T-\frac1{{\rm tr}\bm I}({\rm tr}\bm T)\bm I\right)
$ = \bm T^2-\frac2{{\rm tr}\bm I}({\rm tr}\bm T)\bm T+\frac1{({\rm tr}\bm I)^2}({\rm tr}\bm T)^2\bm I
$ ({\cal\pmb D}:\bm T)\cdot({\cal\pmb D}:\bm T)\cdot({\cal\pmb D}:\bm T)=\bm T^3-3\left(\frac{{\rm tr}\bm T}{{\rm tr}\bm I}\right)\bm T^2+3\left(\frac{{\rm tr}\bm T}{{\rm tr}\bm I}\right)^2\bm T-\left(\frac{{\rm tr}\bm T}{{\rm tr}\bm I}\right)^3\bm I
$ = \frac13{\rm tr}(\bm T^3)-\left(\frac{{\rm tr}\bm T}{{\rm tr}\bm I}\right){\rm tr}(\bm T^2)+\frac23\frac{({\rm tr}\bm T)^3}{({\rm tr}\bm I)^2}
$ = \frac13{\rm tr}(\bm T^3)-\frac{I_1^{\bm{T}}}{3}{\rm tr}(\bm T^2)+\frac{2{I_1^{\bm{T}}}^3}{9}
$ = I_3^{\bm{T}}-\frac13I_1^{\bm{T}}I_2^{\bm{T}}+\frac29{I_1^{\bm{T}}}^3
$ = I_3^{\bm{T}}+\frac13I_1^{\bm{T}}I_2^{\bm{T}}-\frac23I_1^{\bm{T}}J_2^{\bm{T}}
$ J_2^{\bm{\sigma}}=-\frac32{\tau_{oct}}^2
$ \cos3\theta=\frac{3^\frac32}{2}\frac{J_3^{\bm{\sigma}}}{(-J_2^{\bm{\sigma}})^\frac32}
$ = \frac12\frac{J_3^{\bm{\sigma}}}{\left(-\frac13J_2^{\bm{\sigma}}\right)^\frac32}
$ = \frac12\frac{J_3^{\bm{\sigma}}}{\left(\frac12{\tau_{oct}}^2\right)^\frac32}
$ = \frac{2\sqrt2}2\frac{J_3^{\bm{\sigma}}}{{\tau_{oct}}^3}
$ = \frac{J_3^{\bm{\sigma}}}{{\tau_{oct}}^3}\sqrt2