偏差第2不変量
$ J_2^{\bm T}=I_2^{\bm T}-\frac12\frac{\mathrm{tr}\bm I-1}{\mathrm{tr}\bm I}\left(I_1^{\bm T}\right)^2
導出
$ J_2^{\bm{T}}:=I_2^{{\cal\pmb D}:\bm T}
$ =\frac12\left((\mathrm{tr}({\cal\pmb D}:\bm T))^2-\mathrm{tr}\left(({\cal\pmb D}:\bm T)^2\right)\right)
$ =-\frac12\mathrm{tr}\left(({\cal\pmb D}:\bm T)^2\right)ー☆
$ \because\mathrm{tr}({\cal\pmb D}:\bm T)=0
$ =-\frac12\mathrm{tr}\left(\bm T^2\right)+\left(\frac{{\rm tr}\bm T}{{\rm tr}\bm I}\right)\mathrm{tr}\bm T-\frac12\left(\frac{{\rm tr}\bm T}{{\rm tr}\bm I}\right)^2\mathrm{tr}\bm I
$ \because({\cal\pmb D}:\bm T)^2= \bm T^2-2\left(\frac{{\rm tr}\bm T}{{\rm tr}\bm I}\right)\bm T+\left(\frac{{\rm tr}\bm T}{{\rm tr}\bm I}\right)^2\bm I
$ =-\frac12\mathrm{tr}\left(\bm T^2\right)+\frac12\frac{(\mathrm{tr}\bm T)^2}{{\rm tr}\bm I}
$ =I_2^{\bm T}-\frac12\left({\rm tr}\bm T\right)^2+\frac12\frac{(\mathrm{tr}\bm T)^2}{{\rm tr}\bm I}
$ \because I_2^{\bm T}=\frac12\left(\left({\rm tr}\bm T\right)^2-\mathrm{tr}\left(\bm T^2\right)\right)
$ =I_2^{\bm T}-\frac12\frac{\mathrm{tr}\bm I-1}{\mathrm{tr}\bm I}(\mathrm{tr}\bm T)^2
$ \underline{=I_2^{\bm T}-\frac12\frac{\mathrm{tr}\bm I-1}{\mathrm{tr}\bm I}\left(I_1^{\bm T}\right)^2\quad}_\blacksquare
n次元での表示
2次元のとき：$ J_2^{\bm{T}}=I_2^{\bm{T}}-\frac14\left(I_1^{\bm T}\right)^2
3次元のとき：$ J_2^{\bm{T}}=I_2^{\bm{T}}-\frac13\left(I_1^{\bm T}\right)^2
任意基底での成分表示
$ J_2^{\bm A}=-\frac12{A'_i}^j{A'_j}^i
2次元の時
$ =-\frac12(({A_1}^1-p)^2+({A_2}^2-p)^2+{A_1}^2{A_2}^1+{A_2}^1{A_1}^2)
$ = -\frac12(({A_1}^1-p)^2+({A_2}^2-p)^2)-{A_1}^2{A_2}^1
3次元のとき
$ = -\frac12(({A_1}^1-p)^2+({A_2}^2-p)^2+({A_3}^3-p)^2)-{A_1}^2{A_2}^1-{A_2}^3{A_3}^2-{A_3}^1{A_1}^3
$ p:=\frac{I_1^{\bm A}}{I_1^{\bm I}}とした
性質
$ J_2^{\bm{T}}=-\frac12\mathrm{tr}\left(({\cal\pmb D}:\bm T)^2\right)
$ \because導出の☆式
2次元にて$ J_2^{\bm T}= -\frac14\left(\lambda_0^{\bm T}-\lambda_1^{\bm T}\right)^2
3次元にて$ J_2^{\bm T}= -\frac16\left(\left(\lambda_0^{\bm T}-\lambda_1^{\bm T}\right)^2+\left(\lambda_1^{\bm T}-\lambda_2^{\bm T}\right)^2+\left(\lambda_2^{\bm T}-\lambda_0^{\bm T}\right)^2\right)
偏差第2不変量はよく負符号が現れるので、$ -をつけて反転させたものを$ J_2^{\bm T}と定義する文献が多い 12:12:30 いや、あってた
11:30:47 導出間違えてた
$ ({\cal\pmb D}:\bm T)^\top={\cal\pmb D}:\bm T^\top\neq\bm T^\top:{\cal\pmb D}だった