偏差第2不変量と種々の不変量との関係

from 偏差tensorの不変量

$ \bm Aの偏差第2不変量$ J_2^{\bm A}と種々の不変量との関係

$ \tau_{oct}=\sqrt{-\frac23J_2^{\bm\sigma}}

$ q=\bar\sigma=\sqrt{-3J_2^{\bm\sigma}}

3次元で$ J_2^{\bm A}= -\frac16\left((\lambda_0-\lambda_1)^2+(\lambda_1-\lambda_2)^2+(\lambda_2-\lambda_0)^2\right)

2次元で$ J_2^{\bm A}= -\frac14(\lambda_0-\lambda_1)^2

3次元2階tensorのとき

固有値による表現

$ J_2^{\bm A}=\frac12\frac{1-3}{3}(\lambda_0+\lambda_1+\lambda_2)^2+\lambda_0\lambda_1+\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_0

$ = \frac13(3\lambda_0\lambda_1+3\lambda_1\lambda_2+3\lambda_2\lambda_0-{\lambda_0}^2-{\lambda_1}^2-{\lambda_2}^2-2\lambda_0\lambda_1-2\lambda_1\lambda_2-2\lambda_2\lambda_0)

$ = \frac13\left(\lambda_0\lambda_1+\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_0-{\lambda_0}^2-{\lambda_1}^2-{\lambda_2}^2\right)

$ = -\frac16\left({\lambda_0}^2-2\lambda_0\lambda_1+{\lambda_1}^2+{\lambda_1}^2-2\lambda_1\lambda_2+{\lambda_2}^2+{\lambda_2}^2-2\lambda_2\lambda_0+{\lambda_0}^2\right)

$ = -\frac16\left((\lambda_0-\lambda_1)^2+(\lambda_1-\lambda_2)^2+(\lambda_2-\lambda_0)^2\right)

$ \bm A^\top=\bm Aなら$ J_2^{\bm A}\le0

八面体剪断成分$ \tau_{oct}との関係

$ \tau_{oct}=\sqrt{-\frac23J_2^{\bm\sigma}}=\frac13\sqrt{(\lambda_0-\lambda_1)^2+(\lambda_1-\lambda_2)^2+(\lambda_2-\lambda_0)^2}

$ J_2^{\bm\sigma}=-\frac32{\tau_{oct}}^2

複素偏差成分の絶対値$ |\bm T_J|との関係

$ |\bm T_J|=\sqrt{-\frac13J_2^{\bm\sigma}}

$ J_2^{\bm\sigma}=-3|{\bm T_J}|^2

Misesの相当応力$ \bar\sigmaとの関係

$ \bar\sigma=\sqrt{-3J_2^{\bm\sigma}}=\sqrt{\frac12\left((\lambda_0-\lambda_1)^2+(\lambda_1-\lambda_2)^2+(\lambda_2-\lambda_0)^2\right)}

$ J_2^{\bm\sigma}=-\frac13\bar\sigma^2

軸対称応力条件$ \lambda_1=\lambda_2のとき