偏差第2不変量と種々の不変量との関係

固有値による表現

$ J\!J_{\bm A}=\frac12\frac{1-3}{3}(\lambda_0+\lambda_1+\lambda_2)^2+\lambda_0\lambda_1+\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_0

$ = \frac13(3\lambda_0\lambda_1+3\lambda_1\lambda_2+3\lambda_2\lambda_0-{\lambda_0}^2-{\lambda_1}^2-{\lambda_2}^2-2\lambda_0\lambda_1-2\lambda_1\lambda_2-2\lambda_2\lambda_0)

$ = \frac13\left(\lambda_0\lambda_1+\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_0-{\lambda_0}^2-{\lambda_1}^2-{\lambda_2}^2\right)

$ = -\frac16\left({\lambda_0}^2-2\lambda_0\lambda_1+{\lambda_1}^2+{\lambda_1}^2-2\lambda_1\lambda_2+{\lambda_2}^2+{\lambda_2}^2-2\lambda_2\lambda_0+{\lambda_0}^2\right)

$ = -\frac16\left((\lambda_0-\lambda_1)^2+(\lambda_1-\lambda_2)^2+(\lambda_2-\lambda_0)^2\right)

$ \tau_{oct}=\sqrt{-\frac23J\!J_{\bm\sigma}}=\frac13\sqrt{(\lambda_0-\lambda_1)^2+(\lambda_1-\lambda_2)^2+(\lambda_2-\lambda_0)^2}

$ J\!J_{\bm\sigma}=-\frac32{\tau_{oct}}^2

$ |\bm T_J|=\sqrt{-\frac13J\!J_{\bm\sigma}}

$ J\!J_{\bm\sigma}=-3|{\bm T_J}|^2

$ \bar\sigma=\sqrt{-3J\!J_{\bm\sigma}}=\sqrt{\frac12\left((\lambda_0-\lambda_1)^2+(\lambda_1-\lambda_2)^2+(\lambda_2-\lambda_0)^2\right)}

$ J\!J_{\bm\sigma}=-\frac13\bar\sigma^2

$ J\!J_{\bm A}=-\frac13(\lambda_0-\lambda_1)^2

$ \tau_{oct}=\frac{\sqrt2}{3}|\lambda_0-\lambda_1|

$ J\!J_{\bm A}=\frac12\frac{1-2}2(\lambda_0+\lambda_1)^2+\lambda_0\lambda_1

$ = -\frac14(\lambda_0+\lambda_1)^2+\lambda_0\lambda_1

$ = -\frac14(\lambda_0-\lambda_1)^2

$ = -q^2