偏差写像tensor
$ {\cal\pmb D}:={\cal\pmb I}-\frac1{\mathrm{tr}\bm I}\bm I\bm I
$ \bm Tに作用して偏差tensor$ {\cal\pmb D}:\bm T=\bm T-\frac1{\mathrm{tr}\bm I}(\mathrm{tr}\bm T)\bm Iを作り出す4階tensor $ {\rm tr}\bm Iは$ \bm Tの次元と等しい 2次元なら$ {\cal\pmb D}:\bm T=\bm T-\frac12(\mathrm{tr}\bm T)\bm Iになる
$ \mathrm{tr}\bm Iが次元に等しいことを用いると、次元を表す記号を都度定義することなく偏差tensorを取り扱える
性質
$ {\cal\pmb D}^\top={\cal\pmb D}
$ \because {\cal\pmb D}:\bm T=\bm T:{\cal\pmb D}
$ {\cal\pmb I}も$ \bm I\bm Iも対称な4階tensorだから成立する
$ ({\cal\pmb D}:\bm T)^\top=\bm T^\top-\frac1{\mathrm{tr}\bm I}(\mathrm{tr}\bm T)\bm I=({\cal\pmb D}:\bm T^\top)
冪等性$ {\cal\pmb D}:{\cal\pmb D}={\cal\pmb D} $ \because {\cal\pmb D}:{\cal\pmb D}=\left({\cal\bm I}-\frac1{\mathrm{tr}\bm I}\bm I\bm I\right):\left({\cal\bm I}-\frac1{\mathrm{tr}\bm I}\bm I\bm I\right)
$ = {\cal\bm I}:{\cal\bm I}-\frac1{\mathrm{tr}\bm I}\bm I\bm I:{\cal\bm I}-\frac1{\mathrm{tr}\bm I}{\cal\bm I}:\bm I\bm I+\frac1{(\mathrm{tr}\bm I)^2}\bm I\bm I:\bm I\bm I
$ = {\cal\bm I}-\frac1{\mathrm{tr}\bm I}\bm I\bm I-\frac1{\mathrm{tr}\bm I}\bm I\bm I+\frac{\mathrm{tr}\bm I}{(\mathrm{tr}\bm I)^2}\bm I\bm I
$ = {\cal\bm I}-\frac1{\mathrm{tr}\bm I}\bm I\bm I
$ ={\cal\pmb D}
偏差tensorにはもう等方成分が残っていないので、さらに偏差成分を取り出そうとしても、同じ偏差tensorしか出てこない
$ {\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}={\cal\pmb S}-\frac1{\mathrm{tr}\pmb I}\pmb I\pmb I
$ \because {\cal\pmb S}:\pmb I=\pmb I^\top=\pmb I
$ {\cal\pmb D}:{\cal\pmb W}={\cal\pmb W}
反対称tensorに等方成分がないことを示す