tensorの成分表示

2023-07-24 08:20:18 このページは旧記法で記述されている

そのうち書き直すつもりだが、記号の変遷を書くとこう

初期：$ [\bm{A}]^\mathcal{ST}_{00}

基底を\mathcalで書いてる

変更1：$ [\bm{A}]^{\sf ST}_{00}

\mathsfに書体を変えた

\mathcalだと3階以上のtensorの書体とダブってしまうので

ぶっちゃけ書体のダブりは気にしなくてもよかったかもtakker.icon

それに書体のダブりをいうなら、\mathcalは次元 (量)の書体とダブってしまっている

変更2：tensorの成分表示記法を変える

見た目ではなく、定義を変えた

これでかなり記述ミスが減った

/icons/hr.icon

$ [\bm{A}]^{\mathcal{ST}}_{(i,j)}

takkerのtensor記法の一つ

tensorと、その成分とを区別するために必要

高校数学だと、この区別ができてなくてつらい

区別しないと、座標変換で成分は変わるがtensorは不変であることを簡潔に示せない

あと(数学科以外の)大学数学でも、2階tensorとその成分表示とが区別できてなくてこれまたつらい

これを使うと恒等tensorの成分表示は座標変換行列だという興味深い性質がわかる

最初に見つけたときは少しテンション上がったtakker.icon*2

2021-03-07 22:43:16 3階以上のtensorに対しても適用できるか不安になってきた

2階のtensorまでは左と右に作用させれば済んだが、3階以上となると、3つ目の作用をどこに書けば良いのだろうか？

これ勘違い

左と右に作用させるというのは、$ \pmb{a}\cdot\pmb{T}\pmb{b}のことを言っている

んでこのことはそもそも成分表示と関係ない

3階以上であっても$ [\pmb{\mathcal{A}}]^\mathcal{STU}_{(i,j,k)} と表示できる

括弧の中に数を並べる記法で表示できないというだけ

3階なら3D行列でなんとか表示できるだろうけど、4階以上はさすがに無理

形式上はできると思うが、だいぶややこしい書き方になりそう

定義

定義というより例示だが、一般的な定義をいきなり示すよりわかりやすいだろうtakker.icon

$ \mathcal{S}=\{\bm{e}_0,\bm{e}_1,\bm{e}_2\},\mathcal{T}=\{\bm{e'}_0,\bm{e'}_1,\bm{e'}_2\}を任意の基底とする

1階のtensorの場合

$ \bm{a} = a_0\bm{e}_0+a_1\bm{e}_1+a_2\bm{e}_2= a'_0\bm{e'}_0+a'_1\bm{e'}_1+a'_2\bm{e'}_2のとき

$ \begin{aligned}[\bm{a}]^\mathcal{S}&=\begin{pmatrix}a_0\\a_1\\a_2\\\end{pmatrix}\\ [\bm{a}]^\mathcal{T}&=\begin{pmatrix}a'_0\\a'_1\\a'_2\\\end{pmatrix}\end{aligned} となる

添字記法もつくった

$ [\bm{a}]^\mathcal{S}_0=a_0

$ [\bm{a}]^\mathcal{T}_0=a'_0

2階tensorの場合

$ \begin{aligned}\bm{A} = &A_{00}\bm{e}_0\otimes\bm{e'}_0+A_{01}\bm{e}_0\otimes\bm{e'}_1+A_{02}\bm{e}_0\otimes\bm{e'}_2+\\&A_{10}\bm{e}_1\otimes\bm{e'}_0+A_{11}\bm{e}_1\otimes\bm{e'}_1+A_{12}\bm{e}_1\otimes\bm{e'}_2+\\&A_{20}\bm{e}_2\otimes\bm{e'}_0+A_{21}\bm{e}_2\otimes\bm{e'}_1+A_{22}\bm{e}_2\otimes\bm{e'}_2\\ = &B_{00}\bm{e'}_0\otimes\bm{e}_0+B_{01}\bm{e'}_0\otimes\bm{e}_1+B_{02}\bm{e'}_0\otimes\bm{e}_2+\\&B_{10}\bm{e'}_1\otimes\bm{e}_0+B_{11}\bm{e'}_1\otimes\bm{e}_1+B_{12}\bm{e'}_1\otimes\bm{e}_2+\\&B_{20}\bm{e'}_2\otimes\bm{e}_0+B_{21}\bm{e'}_2\otimes\bm{e}_1+B_{22}\bm{e'}_2\otimes\bm{e}_2\end{aligned}のとき

$ \begin{aligned}[\bm{A}]^\mathcal{ST}=&\begin{pmatrix}A_{00}&A_{01}&A_{02}\\A_{10}&A_{11}&A_{12}\\A_{20}&A_{21}&A_{22}\end{pmatrix} \\ [\bm{A}]^\mathcal{TS}=&\begin{pmatrix}B_{00}&B_{01}&B_{02}\\B_{10}&B_{11}&B_{12}\\B_{20}&B_{21}&B_{22}\end{pmatrix}\end{aligned} となる

基底を書く順番はちょっと悩むtakker.icon

昔は逆にしてたみたい

いざとなれば$ [\bm{A}]^\mathcal{S\leftarrow T} と順番を明示する手もある

添字記法

$ [\bm{A}]^\mathcal{ST}_{00}=A_{00}

$ [\bm{A}]^\mathcal{TS}_{00}=B_{00}

3階のtensorの場合

$ \LaTeXでは書けないので、後ほど手書きする

成分表示が3D行列になる

新たに正規直交基底$ \mathcal{U}を追加する

単位vectorを表す記号が思いつかないな……

$ \bm{k}でいいかな？