基底 - くたくたじゅうよん

基底

任意の$ \bf K-線型空間$ \bf V上で以下を満たす$ Vの部分集合$ Bを、$ \bf Vの基底(ハメル基底, basis)と呼ぶ

1. $ \forall D\subseteq V:|D|\in\N\implies D\text{は線型独立}

2. $ \forall v\in V\exist n\in\N\forall v_\bullet:\N_{\le n}\to D\exist a_\bullet:\N_{\le n}\to K:v=\sum_{1\le i\le n}a_iv_i

上記は無限次元線型空間も含めた定義

有限次元線型空間なら以下で事足りる：

2. $ \forall v\in V\exist a_\bullet:\N_{\le|D|}\to K\forall v_\bullet:\N_{\le|D|}\to D:v=\sum_{1\le i\le|D|}a_iv_i

基底の変換や空間の向きづけに便利なので、よく順序付けられた基底を使う

同値な条件

$ \forall v\in V\exist!n\in\N\forall v_\bullet:\N_{\le n}\to D\exist!a_\bullet:\N_{\le n}\to K:v=\sum_{1\le i\le n}a_iv_i