線型独立
任意の$ \bf K -線型空間$ \bf V と$ \forall n\in\N\forall v_\bullet:\N_{\le n}\to V にて以下を満たすとき、$ v_\bulletは線型独立であるという $ \forall a_\bullet:\N_{\le n}\to K:\left(\sum_{i\in\N_{\le n}}a_iv_i=0\implies\forall i\in\N_{\le n}:a_i=0\right)ー①
①は②ともかける
$ \forall a_\bullet,b_\bullet:\N_{\le n}\to K:\left(\sum_{i\in\N_{\le n}}a_iv_i=\sum_{i\in\N_{\le n}}b_iv_i\implies\forall i\in\N_{\le n}:a_i=b_i\right)ー②
同値であることの証明：
$ \forall a_\bullet,b_\bullet:\N_{\le n}\to K:\left(\sum_{i\in\N_{\le n}}a_iv_i=\sum_{i\in\N_{\le n}}b_iv_i\implies\forall i\in\N_{\le n}:a_i=b_i\right)
$ \iff\forall a_\bullet,b_\bullet:\N_{\le n}\to K:\left(\sum_{i\in\N_{\le n}}(a_i-b_i)v_i=0\implies\forall i\in\N_{\le n}:a_i-b_i=0\right)
$ \iff\forall c_\bullet:\N_{\le n}\to K:\left(\sum_{i\in\N_{\le n}}c_iv_i=0\implies\forall i\in\N_{\le n}:c_i=0\right)
$ c_\bullet=a_\bullet-b_\bulletとした
$ \iff\forall a_\bullet:\N_{\le n}\to K:\left(\sum_{i\in\N_{\le n}}a_iv_i=0\implies\forall i\in\N_{\le n}:a_i=0\right)