線型空間
任意の可換群$ Vと任意の体$ K、演算子$ \cdot_{K\times V}:\underline K\times\underline V\to\underline Vについて、次の条件を満たす三つ組$ (V,K,\cdot_{K\times V})を線型空間と呼ぶ 1. 分配法則の成立：$ \forall a\in\underline K\forall\bm u,\bm v\in\underline V;a\cdot_{K\times V}(\bm u+\bm v)=a\cdot_{K\times V}\bm u+a\cdot_{K\times V}\bm v 2. 結合律の成立：$ \forall a,b\in\underline K\forall\bm u\in\underline V;a\cdot_{K\times V}(b\cdot_{K\times V}\bm u)=(a\cdot b)\cdot_{K\times V}\bm v 3. 左単位元の存在：$ \forall\bm u\in\underline V;1_K\cdot_{K\times V}\bm u=\bm u $ \cdot_{K\times V}をスカラー倍と呼ぶ $ (V,K,\cdot_{K\times V})を「$ K-線型空間」もしくは「$ K上の線型空間」と呼ぶ
満たすべき論理式
$ \forall u,v\in V; u+v\in V
$ \forall k\in K\forall u\in V; k\cdot u\in V
$ \forall u,v\in V;u+v=v+u
$ \forall k\in K\forall u,v\in V;k\cdot(u+v)=k\cdot u+k\cdot v
$ \forall k,l\in K\forall u\in V;(k+l)\cdot u=k\cdot u+k\cdot u
$ \forall u,v,w\in V;u+(v+w)=(u+v)+w
$ \forall k,l\in K\forall u\in V;(k\cdot l)\cdot u=k\cdot (l\cdot u)
演算子が交換されていることに注意
$ (k\cdot_K l)\cdot_{K\times V}u=k\cdot_{K\times V}(l\cdot_K u)
$ \exist u\in V\forall v\in V\exist w\in V;u+v=v\land v+w=u
抽象代数学の言葉を使うとすっきりする
$ \cdot_{K\times V}が以下を満たす
$ \forall k\in K\forall u\in V; k\cdot u\in V
$ \forall k\in K\forall u,v\in V;k\cdot(u+v)=k\cdot u+k\cdot v
$ \forall k,l\in K\forall u\in V;(k+l)\cdot u=k\cdot u+k\cdot u
$ \forall k,l\in K\forall u\in V;(k\cdot l)\cdot u=k\cdot (l\cdot u)
厳密に定義するなら、前述した論理式を満たす組$ (V,(K,+_K,\cdot_K),+_V,\cdot_{K\times V})を線型空間とすればいいかな
$ \cdot_{K\times V}は、左にscalarを書けるscalar積のつもりで書いた 右からかけるscalar積も定義した方がいいのか？
あとnablaを線型空間でとらえるには、右scalar積のみを定義しないといけない 函数を左からしか作用させない場合は
明らかにsalarの集合が体をなさない