線型空間
任意の可換群$ (V,+)と任意の体$ \mathbf K、演算子$ \cdot:K\times V\to Vについて、次の条件を満たす三つ組$ \mathbf V:=((V,+),\mathbf K,\cdot)を線型空間と呼ぶ 1. $ +に対する左分配法則：$ \forall a\in K\forall\bm u,\bm v\in V：a\cdot(\bm u+\bm v)=a\cdot\bm u+a\cdot\bm v 2. $ \cdotに対する左分配法則：$ \forall a,b\in K\forall\bm u\in V：(a+b)\cdot\bm u=a\cdot\bm u+b\cdot\bm u 3. 2つの$ \cdotの関係：$ \forall a,b\in K\forall\bm u\in V：a\cdot(b\cdot\bm u)=(a\cdot b)\cdot\bm v
4. 左単位元の存在：$ \forall\bm u\in V：1_{\mathbf K}\cdot\bm u=\bm u $ 1_{\mathbf K}：$ \mathbf Kの乗法単位元 $ ((V,+),\mathbf K,\cdot)を「$ \mathbf K-線型空間」もしくは「$ \mathbf K上の線型空間」と呼ぶ
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満たすべき論理式
$ \forall u,v\in V; u+v\in V
$ \forall k\in K\forall u\in V; k\cdot u\in V
$ \forall u,v\in V;u+v=v+u
$ \forall k\in K\forall u,v\in V;k\cdot(u+v)=k\cdot u+k\cdot v
$ \forall k,l\in K\forall u\in V;(k+l)\cdot u=k\cdot u+k\cdot u
$ \forall u,v,w\in V;u+(v+w)=(u+v)+w
$ \forall k,l\in K\forall u\in V;(k\cdot l)\cdot u=k\cdot (l\cdot u)
演算子が交換されていることに注意
$ (k\cdot_K l)\cdot_{K\times V}u=k\cdot_{K\times V}(l\cdot_K u)
$ \exist u\in V\forall v\in V\exist w\in V;u+v=v\land v+w=u
抽象代数学の言葉を使うとすっきりする
$ \cdot_{K\times V}が以下を満たす
$ \forall k\in K\forall u\in V; k\cdot u\in V
$ \forall k\in K\forall u,v\in V;k\cdot(u+v)=k\cdot u+k\cdot v
$ \forall k,l\in K\forall u\in V;(k+l)\cdot u=k\cdot u+k\cdot u
$ \forall k,l\in K\forall u\in V;(k\cdot l)\cdot u=k\cdot (l\cdot u)
厳密に定義するなら、前述した論理式を満たす組$ (V,(K,+_K,\cdot_K),+_V,\cdot_{K\times V})を線型空間とすればいいかな
$ \cdot_{K\times V}は、左にscalarを書けるscalar積のつもりで書いた 右からかけるscalar積も定義した方がいいのか？
あとnablaを線型空間でとらえるには、右scalar積のみを定義しないといけない 函数を左からしか作用させない場合は
明らかにscalarの集合が体をなさない
同義語、表記揺れ