体 - くたくたじゅうよん

体

$ \Bbb Qを一般化したような構造

狭義には可換体と等しい

定義

次の条件を満たす三つ組$ \mathbf F:=(F, +:F\times F\to F, \cdot: F\times F\to F)を体と呼ぶ

1. (閉性：$ +,\cdotは$ Fに閉じている)

二項演算の定義に織り込み済み

2. $ (F,+)が可換群をなす

3. $ (F,\cdot)がmonoidをなす

4. $ (F\setminus\{0_F\},\cdot)が可換群をなす

$ 0_F：$ (F,+)の両側単位元

体の場合、特別に零元もしくは加法単位元と呼ぶ

5. 分配法則の成立：$ \forall a,b,c\in F;a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c

6. $ 0_F\neq 1_F

$ 1_F：$ (F,\cdot)の単位元

両側単位元かどうかは知らない

体のとき、特別に乗法単位元と呼ぶ

$ 0_F= 1_Fな可換群も考え得るが、都合が悪いので通常は仮定するらしい