環 - くたくたじゅうよん

環

集合$ Fと$ F上の二項演算$ +:F\times F\to F,\cdot:F\times F\to Fにて、以下を満たす組$ (F,+,\cdot)を環と呼ぶ

1. $ (F,+)が可換群をなす

2. $ (F,\cdot)がmonoidをなす

4. 左分配法則：$ \forall a,b,c\in F:a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c

5. 右分配法則：$ \forall a,b,c\in F:(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c

6. $ 0_F\neq 1_F

$ 0_F：$ (F,+)の両側単位元

$ 1_F：$ (F,\cdot)の両側単位元

普通はこれを仮定する

$ (F,\cdot)をmonoidではなく半群とする定義もある

$ (F,\cdot)を半群とする環を擬環(rng)という

$ (F,\cdot)をmonoidとする環を単位環という