等方tensor
直交変換だと、3階等方tensorの符号が反転してしまう
種類
0階tensor：任意のscalar
2階tensor：$ a\pmb{I}
$ a\pmb{I}は、空間反転を含む任意の直交変換に対しても成分が不変
どんな基底$ \sf E でも$ [a\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}=a\llbracket i=j\rrbracket になる
証明
同様に、$ \pmb f_i\cdot\pmb e_i=0である座標変換を用いてみる
$ A_{ij}=\pmb f_i\cdot\pmb e_kA_{kl}\pmb e_l\cdot\pmb f_j
$ =\pmb f_i\cdot\pmb e_kA_{kl}\pmb f_j\cdot\pmb e_l
$ = \pmb f_i\cdot\pmb e_kA_{kl}\pmb f_j\cdot\pmb e_l\llbracket i\neq k\land j\neq l\rrbracket
$ n次元のとき、$ \pmb e_i=\pmb f_j\quad(i\neq j)だとする
あー、もっと条件が要るかな？
3次元で考えてみよう
$ \pmb e_0=\pmb f_1then
$ \pmb e_0\cdot\pmb e_1=(\pmb e_0\cdot\pmb f_0)(\pmb e_1\cdot\pmb f_0)+(\pmb e_1\cdot\pmb f_0)(\pmb e_1\cdot\pmb f_1)+(\pmb e_0\cdot\pmb f_2)(\pmb e_1\cdot\pmb f_2)=0
$ \pmb f_i\cdot\pmb e_i=0としたからこれは当然
$ 0=\pmb e_0\cdot\pmb e_2=\pmb f_1\cdot\pmb e_2
これと$ \pmb f_i\cdot\pmb e_i=0より$ \pmb e_2=\pm\pmb f_0
$ 0=\pmb e_1\cdot\pmb e_2=\pm\pmb e_1\cdot\pmb f_0
$ \pmb e_1=(\pmb e_1\cdot\pmb f_1)\pmb f_1+(\pmb e_1\cdot\pmb f_2)\pmb f_2
$ \pmb f_i\cdot\pmb e_i=0だから$ \pmb e_1=\pm\pmb f_2
以上より
$ [\pmb I]^{\sf FE}=\begin{pmatrix}0&0&\pm1\\1&0&0\\0&\pm1&0\end{pmatrix}
cyclicに並び替えればいい？
予想：EとFが正規直交基底のとき、$ \pmb f_i\cdot\pmb e_i=0なら
$ \pmb f_1=\pmb e_0\implies\pmb f_2=\pm\pmb e_1
$ \pmb f_i=\pm\pmb e_{(i+1)\%n} とすれば、$ [\pmb I]^{\sf FE} は直交行列になるはず
$ [\pmb I]^{\sf FE}{[\pmb I]^{\sf FE}}^\top=(\pmb f_i\cdot\pmb e_k)(\pmb e_k\cdot\pmb f_j)
$ = \pm(\pmb e_{(i+1)\%n}\cdot\pmb e_k)(\pmb e_k\cdot\pmb e_{(j+1)\%n})
$ =\llbracket (i+1)\%n=k=(j+1)\%n\rrbracket
$ =\sum\llbracket0\le(i+1)\%n=(j+1)\%n<n\rrbracket
$ = \llbracket i=j\rrbracket
確かに直交行列である
あとは行列式が$ 1になるものを探せばいい
$ \det [\pmb I]^{\sf FE}=\sum_{i,j,k}\epsilon_{ijk}[\pmb I]^{\sf FE}_{0i}[\pmb I]^{\sf FE}_{1j}[\pmb I]^{\sf FE}_{2k}
$ = I_{02}I_{10}I_{21}
結局全部かぶらないから、各要素をかけたものに等しい
ということは、行列式が1になるよう、適当な基底に-をつければいいだけか
$ A_{ij}=\llbracket (i+1)\%n=k\land l=(j+1)\%n\rrbracket A_{kl}
3階tensor：$ a{\Large\pmb{\epsilon}}
4階tensor：$ \alpha\pmb{I}\pmb{I}+\beta{\cal\pmb{I}}+\gamma\tilde{\cal\pmb{I}}
2階tensor$ \pmb{T}に作用させると、
$ (\alpha\pmb{I}\pmb{I}+\beta{\cal\pmb{I}}+\gamma\tilde{\cal\pmb{I}}):\pmb{T}=\alpha\mathrm{tr}(\pmb{T})\pmb{I}+\beta\pmb{T}+\gamma\pmb{T}^\top
となる