基底変換tensor

$ \bm Q^\mathsf{E\bar F}:=\sum_i\bm{e}_i\bm{f}_i

性質

$ \bm{e}_i=\bm{Q}^\mathsf{E\bar{F}}\cdot\bm{f}_i

名前の由来

$ \bm{Q}^\mathsf{EF}\cdot\bm{Q}^\mathsf{\bar{F}G}=\bm{Q}^\mathsf{EG}

$ \because\bm{Q}^\mathsf{EF}\cdot\bm{Q}^\mathsf{\bar{F}G}=\sum_{i,j}(\bm{e}_i\bm{f}_i)\cdot(\bar{\bm{f}}_j\bm{g}_j)=\sum_{i,j}\llbracket i=j\rrbracket(\bm{e}_i\bm{g}_j)=\sum_i\bm{e}_i\bm{g}_i=\bm{Q}^\mathsf{EG}

共変と反変とが打ち消し合う

$ \bm{Q}^\mathsf{E\bar{E}}=\bm{I}

定義から自明

$ {\bm{Q}^\mathsf{EF}}^{-1}=\bm{Q}^\mathsf{\bar{F}\bar{E}}

$ \because\bm Q^{\sf EF}\cdot\bm Q^{\sf \bar F\bar E}=\bm Q^{\sf E\bar E}=\bm I

$ {\bm{Q}^\mathsf{EF}}^\top=\bm{Q}^\mathsf{FE}

$ \because{\bm{Q}^\mathsf{EF}}^\top=\sum_i(\bm{e}_i\bm{f}_i)^\top=\sum_i\bm{f}_i\bm{e}_i=\bm{Q}^\mathsf{FE}

成分

$ [\bm Q^{\sf EF}]^{\sf GH}_{ij}= \bm g_i\cdot\bm e_k\bm f_k\cdot\bm h_j=[\bm I]^{\sf GE}_{ik}[\bm I]^{\sf FH}_{kj}

$ [\bm I]^{\sf EF}_{ij}=\bm e_i\cdot\bm f_j=\bm e_i\cdot\bm Q^{\sf FG}\cdot\bar\bm g_j=[\bm Q^{\sf FG}]^{\sf E\bar G}_{ij}

これは展開できない

$ \bm{Q}^\mathsf{EF}\cdot\bm{Q}^\mathsf{\bar{E}\bar{F}}=\sum_{i,j}(\bm{e}_i\bm{f}_i)\cdot(\bar{\bm{e}}_j\bar{\bm{f}}_j)=\sum_{i,j}\bm{f}_i\cdot\bar{\bm{e}}_j(\bm{e}_i\bar{\bm{f}}_j)

indexと双対が食い違っていて、相殺できない

2024-01-13 10:48:15 「基底変換tensor」に変えた