tensorの成分表示の各種演算法則

=?はまだ計算してないやつ

性質

$ [\pmb{T}^{-1}]^\mathsf{EF}={[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{F}\bar{E}}}^{-1}

$ [\pmb{T}^\top]^\mathsf{EF}={[\pmb{T}]^\mathsf{FE}}^\top

$ [\pmb{TS}]^\mathsf{EF}=[\pmb{T}]^\mathsf{E\bar{G}}[\pmb{S}]^\mathsf{GF}

$ [\pmb{a}\pmb{b}]^\mathsf{EF}=[\pmb{a}]^\mathsf{E}{[\pmb{b}]^\mathsf{F}}^\top

導出

$ \pmb{a}\pmb{b}=\sum_{i,j}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_i[\pmb{b}]^\mathsf{F}_j\bar{\pmb{e}}_i\bar{\pmb{f}}_j

と

$ \pmb{a}\pmb{b}=\sum_{i,j}[\pmb{a}\pmb{b}]^\mathsf{EF}_{ij}\bar{\pmb{e}}_i\bar{\pmb{f}}_j

より

$ [\pmb{a}\pmb{b}]^\mathsf{EF}_{ij}=[\pmb{a}]^\mathsf{E}_i[\pmb{b}]^\mathsf{F}_j

$ \therefore[\pmb{a}\pmb{b}]^\mathsf{EF}=[\pmb{a}]^\mathsf{E}{[\pmb{b}]^\mathsf{F}}^\top

具体的な各成分の値

$ [\pmb{a}]^\mathsf{E}_i=\pmb{a}\cdot\pmb{e}_i

$ [\pmb{T}]^\mathsf{EF}_{ij}=\pmb{e}_i\cdot\pmb{T}\cdot\pmb{f}_j

$ \because\pmb{e}_i\cdot\pmb{T}\cdot\pmb{f}_j=\sum_{k,l}\pmb{e}_i\cdot[\pmb{T}]^\mathsf{EF}_{kl}\bar{\pmb{e}}_k\bar{\pmb{f}}_l\cdot\pmb{f}_j

$ =\sum_{k,l}[\pmb{T}]^\mathsf{EF}_{kl}\pmb{e}_i\cdot\bar{\pmb{e}}_k\bar{\pmb{f}}_l\cdot\pmb{f}_j

$ =\sum_{k,l}[\pmb{T}]^\mathsf{EF}_{kl}\llbracket i=k\rrbracket\llbracket l=j\rrbracket

$ =[\pmb{T}]^\mathsf{EF}_{ij}