恒等tensorの成分表示
性質
$ \mathsf{E}:=(\pmb{e}_i,\cdots,\pmb{e}_n)と$ \mathsf{F}:=(\pmb{e}_i,\cdots,\pmb{e}_n)を任意の基底とする
$ [\pmb{I}]^\mathsf{EF}_{ij}=\pmb{e}_i\cdot\pmb{f}_j
行列演算
$ {[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^{-1}=[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{F}}
takker.iconが勝手に作った
$ {[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^\top= [\pmb{I}]^\mathsf{EF}
$ [\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{E}} は必ず単位行列になる $ [\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}=\pmb{e}_i\cdot\bar{\pmb{e}}_j=\llbracket i=j\rrbracket
$ [\pmb{I}]^\mathsf{EE} は計量行列に相当する $ [\pmb{I}]^\mathsf{EE}_{ij}=\pmb{e}_i\cdot\pmb{e}_j
導出
$ [\pmb{I}]^\mathsf{EF}_{ij}=\pmb{e}_i\cdot\pmb{f}_j
2通りくらい方法がある
1. 座標変換の性質から求める
2. 直接示す
tensorの成分表示の定義$ \pmb{A}=\sum_{i,j}[\pmb{A}]^\mathsf{EF}_{ij}\bar{\pmb{e}}_i\bar{\pmb{f}}_j に代入して、$ \pmb{I}になることを確認する $ \bar{\pmb{e}}_i\bar{\pmb{f}}_jは行列積ではなくtensor積$ \bar{\pmb{e}}_i\otimes\bar{\pmb{f}}_jを表している $ {[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^{-1}=[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{F}} と$ {[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^\top= [\pmb{I}]^\mathsf{EF}
座標変換の性質から求めることも可能だが、任意のtensorに拡張した式があるので、それに代入して導いたほうが構造がわかりやすい
$ [\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{E}} は必ず単位行列になる 双方とも正規直交基底($ \sf E=\bar{E}\land F=\bar{F} )なら$ {[\pmb{I}]^\mathsf{EF}}^\top= {[\pmb{I}]^\mathsf{EF}}^{-1} が成立し、座標変換行列が直交行列になることがわかる 各種座標変換
$ [\pmb{a}]^\mathsf{F}=[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{a}]^\mathsf{E}=[\pmb{I}]^\mathsf{FE}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}[\pmb{a}]^\mathsf{E}
同じ基底が並んでいるか否か程度の違いしかないtakker.icon
$ [\pmb{T}]^\mathsf{HG}=[\pmb{I}]^\mathsf{H\bar{F}}[\pmb{T}]^\mathsf{FE}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}G}
$ [\pmb{\cal A}]^{\sf HIJ}=[\pmb{\cal I}]^{\sf HIJ\bar{E}\bar{F}\bar{G}}[\pmb{\cal A}]^{\sf EFG}
$ \pmb{\cal A}はn階tensor、$ \pmb{\cal I}は2n階単位tensor
$ [\pmb{\cal A}]^{\sf HIJ}_{ijk}=[\pmb{I}]^{\sf H\bar{E}}_{il}[\pmb{I}]^{\sf I\bar{F}}_{jm}[\pmb{I}]^{\sf J\bar{G}}_{kn}[\pmb{\cal A}]^{\sf EFG}_{lmn}
それぞれ基底に依存しない元の式は$ \pmb{a}=\pmb{I}\cdot\pmb{a}=\pmb{a}、$ \pmb{T}=\pmb{I}\cdot\pmb{T}\cdot\pmb{I}=\pmb{T}であり、座標変換でtensorは変化しないことがよくわかる