tensor代数とtensor解析メモ

導出

$ ①\land②\implies{[\pmb{a}]^\mathsf{F}}_j[\pmb{G}]_{ji}={[\pmb{a}]^\mathsf{E}}_i

$ \iff[\pmb G]_{ij}^\top[\pmb a]_j^{\sf F}=[\pmb a]_i^{\sf E}

$ \iff[\pmb{G}]^\top[\pmb{a}]^\mathsf{F}=[\pmb{a}]^\mathsf{E}

$ \iff\underline{[\pmb{a}]^\mathsf{F}={[\pmb{G}]^\top}^{-1}[\pmb{a}]^\mathsf{E}\quad}_\blacksquare

$ \pmb{f}_i=\sum_j{{[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^{-1}}^\top_{ij}\pmb{e}_j=\sum_j[\pmb{I}]^\mathsf{FE}_{ij}\pmb{e}_j

$ \because {{[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^{-1}}^\top=[\pmb{I}]^\mathsf{FE}

これは間違っているような

回転行列で確認してみよう

$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\mat{\pmb{f}_0&\pmb{f}_1}=\mat{\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta}\mat{\pmb{e}_0&\pmb{e}_1}

変換するとき、基底vectorは行vectorで配置されていたのがポイント

混乱の元だから、このメモをまとめ直すときは基底の変換式を予め転置させたほうがいいな

$ \pmb{f}_i=\sum_j[\pmb{G}]_{ji}\pmb{e}_j

導出メモの流れが不自然

^{-1}のほうがいいかな？

面白そうなアイデアだけど一旦保留

まず基底のかけ算に該当するものを作らないといけないし

$ [\pmb{a}]^\mathsf{\bar{E}}_i= \pmb{a}\cdot\bar{\pmb{e}}_i=\sum_j[\pmb{a}]^\mathsf{E}_j\bar{\pmb{e}}_j\cdot\bar{\pmb{e}}_i

$ \bar{\pmb{e}}_i\cdot\pmb{e}_j=\sum_k{[\pmb{\mathcal{G}}]^\top}^{-1}_{ik}\pmb{e}_k\cdot\pmb{e}_j

$ =\sum_k{[\pmb{\mathcal{G}}]^\top}^{-1}_{ik}[\pmb{\mathcal{G}}]_{kj}

だから正規直交基底と同じ扱いになれるんだ

$ =\left({[\pmb{\mathcal{G}}]^\top}^{-1}[\pmb{\mathcal{G}}]\right)_{ij}

$ =\left([\pmb{\mathcal{G}}]^{-1}[\pmb{\mathcal{G}}]\right)_{ij}

$ =\llbracket i=j\rrbracket

変換

成分表示

$ \pmb{b}=\sum_i[\pmb{b}]^\mathsf{F}_i\pmb{e}_i

$ \pmb{T}=\sum_{i,j}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}_{ij}\pmb{e}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_j

$ \pmb{a}=\sum_j[\pmb{a}]^\mathsf{E}_j\pmb{e}_j

$ \sum_i[\pmb{b}]^\mathsf{F}_i\pmb{e}_i=\sum_{i,j}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}_{ij}\pmb{e}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_j[\pmb{a}]^\mathsf{E}_j\pmb{e}_j

$ =\sum_{i,j}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}_{ij}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_j(\bar{\pmb{e}}_j\cdot\pmb{e}_j)\pmb{e}_i

$ =\sum_{i,j}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}_{ij}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_j\pmb{e}_i

$ \because \bar{\pmb{e}}_j\cdot\pmb{e}_j=1

$ \iff [\pmb{b}]^\mathsf{F} =[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{a}]^\mathsf{E}

$ \therefore \pmb{b}=\pmb{T}\pmb{a}\iff[\pmb{b}]^\mathsf{F} =[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{a}]^\mathsf{E}

これは正規直交基底に限らず、任意の基底で成立する成分表示である

$ \because \pmb{a}=\pmb{a}\iff\pmb{a}=\pmb{I}\pmb{a}\iff[\pmb{a}]^\mathsf{\bar{E}}=[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}[\pmb{a}]^\mathsf{E}

FにEを代入した

$ {[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^\top= [\pmb{I}]^\mathsf{EF}

二回双対を適用すると元の基底に戻る(要検証)

無限次元線型空間だと成立しないらしい？

座標変換

$ [\pmb{b}]^\mathsf{F} =[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{a}]^\mathsf{E}

$ \iff [\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{H}}[\pmb{b}]^\mathsf{H} =[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{G}}[\pmb{a}]^\mathsf{G}

$ \iff [\pmb{b}]^\mathsf{H} ={[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{H}}}^{-1}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{G}}[\pmb{a}]^\mathsf{G}

$ \therefore[\pmb{T}]^\mathsf{H\bar{G}}={[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{H}}}^{-1}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{G}}

$ =[\pmb{I}]^\mathsf{H\bar{F}}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{G}}

基底とその双対が打ち消し合う連鎖が起きている

基底の変換行列の成分を求める

$ \pmb{f}_i=\sum_j(\pmb{f}_i\cdot\bar{\pmb{e}}_j)\pmb{e}_j

$ {{[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}}^{-1}}^\top_{ij}=\pmb{f}_i\cdot\bar{\pmb{e}}_j

$ \iff{[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}}^{-1}_{ij}=\bar{\pmb{e}}_i\cdot\pmb{f}_j

$ \iff[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}_{ij}=\bar{\pmb{e}}_i\cdot\pmb{f}_j

となる

$ \sum_{i,j,k}(\bar{\pmb{e}}_i\cdot\pmb{f}_j)\pmb{e}_i\otimes\bar{\pmb{f}}_j[\pmb{a}]^\mathsf{F}_k\pmb{f}_k=\sum_{i,j,k}(\bar{\pmb{e}}_i\cdot\pmb{f}_j)[\pmb{a}]^\mathsf{F}_k\pmb{e}_i\llbracket j=k\rrbracket

$ =\sum_{i,j}(\bar{\pmb{e}}_i\cdot\pmb{f}_j)[\pmb{a}]^\mathsf{F}_j\pmb{e}_i

$ =\sum_i\left(\left(\sum_j\pmb{f}_j[\pmb{a}]^\mathsf{F}_j\right)\cdot\bar{\pmb{e}}_i\right)\pmb{e}_i

$ =\sum_i\left(\pmb{a}\cdot\bar{\pmb{e}}_i\right)\pmb{e}_i

$ =\sum_i[\pmb{a}]^\mathsf{E}_i\pmb{e}_i

$ =\pmb{a}

$ \iff{[\pmb{a}]^{\bar{\mathsf{F}}}}^\top[\pmb{T}^\top]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{b}]^\mathsf{E}={[\pmb{b}]^\mathsf{E}}^\top[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}F}[\pmb{a}]^{\bar{\mathsf{F}}}

$ ={[\pmb{a}]^{\bar{\mathsf{F}}}}^\top{[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}F}}^\top[\pmb{b}]^\mathsf{E}

転置でひっくり返しただけ

$ \underline{\therefore[\pmb{T}^\top]^\mathsf{F\bar{E}}={[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}F}}^\top}

検証

$ \pmb{T}^\top=\sum_{i,j}[\pmb{T}^\top]^\mathsf{F\bar{E}}_{ij}\pmb{f}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_j

$ =\sum_{i,j} {[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}F}}^\top_{ij}\pmb{f}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_j

$ =\sum_{i,j} [\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}F}_{ji}\pmb{f}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_j

逆tensorと成分表示の逆行列との関係

$ [\pmb{I}]^\mathsf{EG}=[\pmb{T}^{-1}\pmb{T}]^\mathsf{EG}

$ =[\pmb{T}^{-1}]^\mathsf{EF}[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{F}G}

$ \iff[\pmb{T}^{-1}]^\mathsf{EF}=[\pmb{I}]^\mathsf{EG}{[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{F}G}}^{-1}

$ ={[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{G}\bar{E}}}^{-1}{[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{F}G}}^{-1}

$ =\left([\pmb{T}]^\mathsf{\bar{F}G}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{G}\bar{E}}\right)^{-1}

$ ={[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{F}\bar{E}}}^{-1}

$ \underline{\therefore[\pmb{T}^{-1}]^\mathsf{EF}={[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{F}\bar{E}}}^{-1}}

不変量

scalar積

$ {[\pmb{a}]^\mathsf{E}}^\top[\pmb{b}]^{\bar{\mathsf{E}}}=\left([\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}[\pmb{a}]^\mathsf{F}\right)^\top[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}[\pmb{b}]^{\bar{\mathsf{F}}}

$ =\left([\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}[\pmb{a}]^\mathsf{F}\right)^\top[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}[\pmb{b}]^{\bar{\mathsf{F}}}

$ ={[\pmb{a}]^\mathsf{F}}^\top{[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}}^\top[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}[\pmb{b}]^{\bar{\mathsf{F}}}

$ ={[\pmb{a}]^\mathsf{F}}^\top[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}[\pmb{b}]^{\bar{\mathsf{F}}}

$ \because{[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}}^\top_{ij}=\bar{\pmb{e}}_j\cdot\pmb{f}_i= [\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ij}

$ ={[\pmb{a}]^\mathsf{F}}^\top[\pmb{b}]^{\bar{\mathsf{F}}}

$ \because [\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}[\pmb{b}]^{\bar{\mathsf{F}}}=[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}F}[\pmb{b}]^{\bar{\mathsf{F}}}=[\pmb{b}]^{\bar{\mathsf{F}}}

任意の基底で等しい値になる

$ \sum_i[\pmb{T}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ii}=\sum_{i,k,l}[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}_{ik}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{F}}_{kl}[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}_{li}

$ =\sum_{i,k,l}[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}_{li}[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}_{ik}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{F}}_{kl}

$ =\sum_l\left([\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{F}}\right)_{ll}

$ =\sum_l\left([\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{F}}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{F}}\right)_{ll}

$ =\sum_l[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{F}}_{ll}

$ =\sum_i[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{F}}_{ii}

$ \sum_{i,j}[\pmb{T}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}[\pmb{S}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}

$ \sum_i[\pmb{T^\top S}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ii}=\sum_i([\pmb{T}^\top]^\mathsf{E\bar{E}}[\pmb{S}]^\mathsf{E\bar{E}})_{ii}

$ =\sum_{i,j}[\pmb{T}^\top]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}[\pmb{S}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ji}

$ =\sum_{i,j}{{[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}E}}}^\top_{ij}[\pmb{S}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ji}

$ =\sum_{i,j}{[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}E}}_{ij}[\pmb{S}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}

等しくないんだが？

縮合の定義を

$ \pmb{T}:\pmb{S}:=\sum_{i,j}[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}E}_{ij}[\pmb{S}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}

とするしかないのか。

また共変成分と反変成分で和をとっているので、共変と反変で打ち消しあえている

これが逆だと、共変と反変とが打ち消し合わずおかしなことになる

まとめ

基底の変換

$ \pmb{f}_i=\sum_j[\pmb{G}]^{-1}_{ji}\pmb{e}_j\implies[\pmb{a}]^\mathsf{F}=[\pmb{G}][\pmb{a}]^\mathsf{E}

双対基底vectorの定義

$ \bar{\pmb{e}}_i:=\sum_j[\pmb{\mathcal{G}}]^{-1}_{ij}\pmb{e}_j

$ \bar{\pmb{e}}_i\cdot\pmb{e}_j=\llbracket i=j\rrbracket

vector変換の成分表示

$ \pmb{b}=\pmb{T}\pmb{a}\implies[\pmb{b}]^\mathsf{F}=[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{a}]^\mathsf{E}

これを使うと、計量行列の元の形がわかる

vectorの座標変換

$ [\pmb{a}]^\mathsf{F}=[\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{a}]^\mathsf{E}=[\pmb{I}]^\mathsf{FE}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}[\pmb{a}]^\mathsf{E}

2階のtensorの座標変換

$ [\pmb{T}]^\mathsf{H\bar{G}}=[\pmb{I}]^\mathsf{H\bar{F}}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{G}}

2階のtensor同士の行列積

$ \pmb{T}\pmb{S}=\sum_{i,j,k}[\pmb{T}]^\mathsf{G\bar{F}}_{ij}(\pmb{g}_i\otimes\bar{\pmb{f}}_j)[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}_{jk}(\pmb{f}_j\otimes\bar{\pmb{e}}_k)

$ =\sum_{i,j,k}[\pmb{T}]^\mathsf{G\bar{F}}_{ij}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}_{jk}(\bar{\pmb{f}}_j\cdot\pmb{f}_j)(\pmb{g}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_k)

$ =\sum_{i,j,k}[\pmb{T}]^\mathsf{G\bar{F}}_{ij}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}_{jk}(\pmb{g}_i\otimes\bar{\pmb{e}}_k)

$ \therefore[\pmb{T}\pmb{S}]^\mathsf{G\bar{E}}=[\pmb{T}]^\mathsf{G\bar{F}}[\pmb{T}]^\mathsf{F\bar{E}}

2階のtensorの成分表示の性質

$ [\pmb{T}^{-1}]^\mathsf{FE}={[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{E}\bar{F}}}^{-1}

基底を交換して双対に取り替える

$ [\pmb{T}^\top]^\mathsf{FE}={[\pmb{T}]^\mathsf{EF}}^\top

基底を交換するだけ

2階恒等tensorの成分表示の性質

$ \pmb{I}=\sum_{i,j}(\pmb{e}_i\cdot\pmb{f}_j)\bar{\pmb{e}}_i\otimes\bar{\pmb{f}}_j

証明

$ \sum_{i,j}(\pmb{e}_i\cdot\pmb{f}_j)\bar{\pmb{e}}_i\otimes\bar{\pmb{f}}_j

$ =\sum_{i,j}(\bar{\pmb{e}}_i\otimes\pmb{e}_i)(\pmb{f}_j\otimes\bar{\pmb{f}}_j)

$ =\left(\sum_i\bar{\pmb{e}}_i\otimes\pmb{e}_i\right)\left(\sum_i\pmb{f}_i\otimes\bar{\pmb{f}}_i\right)

$ =\pmb{I}\pmb{I}

$ \because \sum_i\bar{\pmb{e}}_i\otimes\pmb{e}_i=\sum_{i,j}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}E}\bar{\pmb{e}}_i\otimes\pmb{e}_j=\pmb{I}

$ \underline{=\pmb{I}\quad}_\blacksquare

$ {[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^{-1}=[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{F}}

$ {[\pmb{I}]^\mathsf{FE}}^\top= [\pmb{I}]^\mathsf{EF}

ここから、計量行列が対称であることもわかる

$ {[\pmb{I}]^\mathsf{EE}}^\top= [\pmb{I}]^\mathsf{EE}

$ [\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}=\llbracket i=j\rrbracket

$ \pmb{a}\times\pmb{b}=(\pmb{\mathcal{W}}\pmb{a})\pmb{b}\quad\text{.for}\forall\pmb{a},\pmb{b}

$ \pmb{a}\wedge\pmb{b}=\sum_{i,j}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_i\pmb{e}_i\wedge[\pmb{b}]^\mathsf{E}_j\pmb{e}_j

$ =\sum_{i,j}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_i[\pmb{b}]^\mathsf{E}_j(\pmb{e}_i\otimes\pmb{e}_j-\pmb{e}_j\otimes\pmb{e}_i)

$ =\sum_{i,j}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_i[\pmb{b}]^\mathsf{E}_j\pmb{e}_i\otimes\pmb{e}_j-\sum_{i,j}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_i[\pmb{b}]^\mathsf{E}_j\pmb{e}_j\otimes\pmb{e}_i

$ =\sum_{i,j}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_i[\pmb{b}]^\mathsf{E}_j\pmb{e}_i\otimes\pmb{e}_j-\sum_{i,j}[\pmb{a}]^\mathsf{E}_j[\pmb{b}]^\mathsf{E}_i\pmb{e}_i\otimes\pmb{e}_j

$ =\sum_{i,j}([\pmb{a}]^\mathsf{E}_i[\pmb{b}]^\mathsf{E}_j-[\pmb{a}]^\mathsf{E}_j[\pmb{b}]^\mathsf{E}_i)\pmb{e}_i\otimes\pmb{e}_j

$ =([\pmb{a}]^\mathsf{E}_0[\pmb{b}]^\mathsf{E}_1-[\pmb{a}]^\mathsf{E}_1[\pmb{b}]^\mathsf{E}_0)\pmb{e}_0\otimes\pmb{e}_1+([\pmb{a}]^\mathsf{E}_1[\pmb{b}]^\mathsf{E}_2-[\pmb{a}]^\mathsf{E}_2[\pmb{b}]^\mathsf{E}_1)\pmb{e}_1\otimes\pmb{e}_2+([\pmb{a}]^\mathsf{E}_2[\pmb{b}]^\mathsf{E}_0-[\pmb{a}]^\mathsf{E}_0[\pmb{b}]^\mathsf{E}_2)\pmb{e}_2\otimes\pmb{e}_0\\-([\pmb{a}]^\mathsf{E}_0[\pmb{b}]^\mathsf{E}_1-[\pmb{a}]^\mathsf{E}_1[\pmb{b}]^\mathsf{E}_0)\pmb{e}_1\otimes\pmb{e}_0-([\pmb{a}]^\mathsf{E}_1[\pmb{b}]^\mathsf{E}_2-[\pmb{a}]^\mathsf{E}_2[\pmb{b}]^\mathsf{E}_1)\pmb{e}_2\otimes\pmb{e}_1-([\pmb{a}]^\mathsf{E}_2[\pmb{b}]^\mathsf{E}_0-[\pmb{a}]^\mathsf{E}_0[\pmb{b}]^\mathsf{E}_2)\pmb{e}_0\otimes\pmb{e}_2

まだやっていないこと

いろいろな高階tensor

基底vectorの微分

$ \frac{\partial\pmb{e}_i}{\partial x_j}=\sum_k\left[\frac{\partial\pmb{e}_i}{\partial x_j}\right]^\mathsf{E}_k\pmb{e}_k

$ \frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ij}}{\partial x_k}=\pmb{e}_i\cdot\frac{\partial\pmb{e}_j}{\partial x_k}+\pmb{e}_j\cdot\frac{\partial\pmb{e}_i}{\partial x_k}

$ =\sum_l\Gamma(k,j)_l\pmb{e}_l\cdot\pmb{e}_i+\sum_l\Gamma(k,i)_l\pmb{e}_l\cdot\pmb{e}_j

$ \frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{jk}}{\partial x_i}=\sum_l\Gamma(i,k)_l\pmb{e}_l\cdot\pmb{e}_j+\sum_l\Gamma(i,j)_l\pmb{e}_l\cdot\pmb{e}_k

$ \frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ki}}{\partial x_j}=\sum_l\Gamma(j,i)_l\pmb{e}_l\cdot\pmb{e}_k+\sum_l\Gamma(j,k)_l\pmb{e}_l\cdot\pmb{e}_i

それぞれ和をとったり引いたりすると

$ \sum_l\Gamma(j,i)_l\pmb{e}_l\cdot\pmb{e}_k=\frac12\left(\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{jk}}{\partial x_i}+\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ki}}{\partial x_j}-\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ij}}{\partial x_k}\right)

$ \implies\sum_l\Gamma(j,i)_l[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{lk}=\frac12\left(\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{jk}}{\partial x_i}+\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ki}}{\partial x_j}-\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ij}}{\partial x_k}\right)

$ \because\pmb{e}_l\cdot\pmb{e}_k=[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{lk}

$ \implies\sum_{k,l}\Gamma(j,i)_l[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{lk}[\pmb{I}]^\mathsf{EE}_{kh}=\frac12\sum_k[\pmb{I}]^\mathsf{EE}_{kh}\left(\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{jk}}{\partial x_i}+\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ki}}{\partial x_j}-\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ij}}{\partial x_k}\right)

$ \implies\Gamma(j,i)_l=\frac12\sum_k[\pmb{I}]^\mathsf{EE}_{kl}\left(\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{jk}}{\partial x_i}+\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ki}}{\partial x_j}-\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ij}}{\partial x_k}\right)

$ \therefore\Big[\frac{\partial\pmb{e}_i}{\partial x_j}\Big]^\mathsf{E}_l=\frac12\sum_k[\pmb{I}]^\mathsf{EE}_{kl}\left(\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{jk}}{\partial x_i}+\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ki}}{\partial x_j}-\frac{\partial[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ij}}{\partial x_k}\right)

座標変換した基底vectorの微分

$ \def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\pdev{\pmb{f}_i}{f_j}=\sum_{k,l}\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}\pmb{e}_k}{e_l}\pdev{e_l}{f_j}

$ \def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}=\sum_{k,l}\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}\pmb{e}_k}{e_l}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}

$ \because[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}=\frac{\partial e_l}{\partial f_j}

$ \def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}=\sum_{k,l}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}\pdev{\pmb{e}_k}{e_l}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}+\sum_{k,l}\pmb{e}_k\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{e_l}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}

$ \def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}=\sum_{k,l,m,n}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}[\pdev{\pmb{e}_k}{e_l}]^\mathsf{E}_m[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{mn}\pmb{f}_n[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}+\sum_{k,l,m}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{km}\pmb{f}_m\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{e_l}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}

$ \def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}=\sum_{k,l,m,n}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}[\pdev{\pmb{e}_k}{e_l}]^\mathsf{E}_n[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{nm}\pmb{f}_m[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}+\sum_{k,l,m}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{km}\pmb{f}_m\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{e_l}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}

$ \def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}=\sum_{k,l,m,n}\left([\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}[\pdev{\pmb{e}_k}{e_l}]^\mathsf{E}_n[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{nm}+[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{km}\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{e_l}\right)[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}\pmb{f}_m

$ \def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\implies\Big[\pdev{\pmb{f}_i}{f_j}\Big]^\mathsf{F}_m=\sum_{k,l,n}\left([\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}[\pdev{\pmb{e}_k}{e_l}]^\mathsf{E}_n[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{nm}+[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{km}\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{e_l}\right)[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}

$ \def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\sum_{k,l}\Big[\pdev{\pmb{f}_i}{f_j}\Big]^\mathsf{F}_k[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{kl}\pmb{e}_l=\sum_{k,l,m}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}[\pdev{\pmb{e}_k}{e_l}]^\mathsf{E}_m\pmb{e}_m[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}+\sum_{k,l}\pmb{e}_k\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{e_l}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}

$ \def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}=\sum_{k,l,m}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{im}[\pdev{\pmb{e}_m}{e_l}]^\mathsf{E}_k\pmb{e}_k[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}+\sum_{k,l}\pmb{e}_k\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{e_l}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}

$ \def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}=\sum_{k,l,m}\left([\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{im}[\pdev{\pmb{e}_m}{e_l}]^\mathsf{E}_k+\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{e_l}\right)[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}\pmb{e}_k

$ \implies\def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\sum_l\Big[\pdev{\pmb{f}_i}{f_j}\Big]^\mathsf{F}_l[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{lk}=\sum_{l,m}\left([\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{im}[\pdev{\pmb{e}_m}{e_l}]^\mathsf{E}_k+\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{e_l}\right)[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}

$ \def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}=\sum_{l,m}\left([\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{im}[\pdev{\pmb{e}_m}{e_l}]^\mathsf{E}_k[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}+\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{f_j}\right)

$ \def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}=\sum_{l,m}\left([\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{im}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}[\pdev{\pmb{e}_m}{e_l}]^\mathsf{E}_k+\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{f_j}\right)

$ \underline{\def\pdev#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\Big[\pdev{\pmb{f}_i}{f_j}\Big]^\mathsf{F}_n=\sum_{k,l,m}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}F}_{kn}\left([\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{im}[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{jl}\Big[\pdev{\pmb{e}_m}{e_l}\Big]^\mathsf{E}_k+\pdev{[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ik}}{f_j}\right)}

$ \def\pdv#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\def\coef#1#2{{\left[#1\right]}^\mathsf{#2}}\coef{\pdv{\pmb{f}_i}{f_j}}{F}_r=\sum_{k,l,m}\coef{\pmb{I}}{\bar{E}F}_{lr}\left(\coef{\pmb{I}}{\bar{F}E}_{jm}\coef{\pmb{I}}{\bar{F}E}_{ik}\coef{\pdv{\pmb{e}_k}{e_m}}{E}_l+\pdv{\coef{\pmb{I}}{\bar{F}E}_{il}}{f_j}\right)

vectorの成分表示を微分する

$ \def\coef#1#2{{\left[#1\right]}^\mathsf{#2}}\coef{\pmb{a}}{F}=\coef{I}{F\bar{E}}\coef{\pmb{a}}{E}

$ \implies\def\pdv#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}\def\coef#1#2{{\left[#1\right]}^\mathsf{#2}}\pdv{\coef{\pmb{a}}{F}_i}{f_j}=\sum_k\left(\pdv{\coef{\pmb{I}}{F\bar{E}}_{ik}}{f_j}\coef{\pmb{a}}{E}_k+\coef{\pmb{I}}{F\bar{E}}_{ik}\pdv{\coef{\pmb{a}}{E}_k}{f_j}\right)

こまった。これ以上展開できない

一旦そろそろ、知見をページごとに書き出すべきか

マクロ

切り出そうかな？

2022-10-17 16:14:24 やり直し