双対の双対は元の基底vector

古典論理における論理否定と同じ性質を示す

-1とかとも同じ

ここから、基底の双対の双対も元の基底と同じになることがわかる

共変と反変という呼び方があるが、この性質より、共変と反変は相対的な呼び方だとわかる

$ \sf Eが共変基底なら$ \sf \bar{E}が反変基底であり

$ \sf \bar{E}が共変基底なら$ \sf Eが反変基底となる

なので、共変・反変ではなく、「Aの双対」と呼ぶようにしているtakker.icon

ただ、共変と反変には他にも意味があるらしい

もしかしたら絶対的な基準があるのかもしれない

導出

$ \bar{\bar{\pmb{e}}}_i=\sum_j[\bar{\bar{\pmb{e}}}_i]^{\sf\bar{E}}_j\pmb{e}_j

$ =\sum_j(\bar{\bar{\pmb{e}}}_i\cdot\bar{\pmb{e}}_j)\pmb{e}_j

$ =\sum_j\llbracket i=j\rrbracket\pmb{e}_j

$ =\pmb{e}_i

$ \underline{\therefore\bar{\bar{\pmb{e}}}_i=\pmb{e}_i\quad}_\blacksquare