Christoffel記号

自然基底を座標成分で微分したもの

いくつかの記法がある

以下、断りがない限り基底$ {\sf E}:=(\pmb e_0,\pmb e_1,\cdots\pmb e_{n-1})を使う

$ \Gamma式

$ {\Gamma_{ij}}^k:=\frac{\partial\pmb e_j}{\partial\bar e_i}\cdot\bar{\pmb e}_k

Christoffel記号#64fe36a11280f000006c3b91では$ \Gamma_{ij}^kとかかれているが、添え字の対応関係がわかりづらいので、スペースを入れて$ {\Gamma_{ij}}^kとした

$ \Gamma_{ijk}:=\frac{\partial\pmb e_j}{\partial\bar e_i}\cdot\pmb e_k

References

以下、自分が考えた拡張

$ \Gamma^{ijk}:=\frac{\partial\bar{\pmb e}_j}{\partial e_i}\cdot\bar{\pmb e}_k

$ {\Gamma^{ij}}_k:=\frac{\partial\bar{\pmb e}_j}{\partial e_i}\cdot\pmb e_k

$ {{\Gamma^i}_j}^k:=\frac{\partial\pmb e_j}{\partial e_i}\cdot\bar{\pmb e}_k

$ {\Gamma^i}_{jk}:=\frac{\partial\pmb e_j}{\partial e_i}\cdot\pmb e_k

$ {\Gamma_i}^{jk}:=\frac{\partial\bar{\pmb e}_j}{\partial\bar e_i}\cdot\bar{\pmb e}_k

$ {{\Gamma_i}^j}_k:=\frac{\partial\bar{\pmb e}_j}{\partial\bar e_i}\cdot\pmb e_k

{}を使ったやつ

References

$ {\Gamma_{ij}}^k=\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}\cdot\bar{\pmb e}_k

$ \Gamma_{ijk}=\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}\cdot\pmb e_k

性質