tensorの記号の対応表

基底と自然基底

$ \pmb{g}_i=\pmb{e}_i=\frac{\partial\pmb{r}}{\partial\bar{e}_i}

$ \pmb{g}^i=\bar{\pmb{e}}_i=\frac{\partial\pmb{r}}{\partial e_i}

別の基底

$ \pmb{g}_{i'}=\pmb{f}_i

$ \pmb{g}^{i'}=\bar{\pmb{f}}_i

添え字の上げ下げ

$ u_i=[\pmb{u}]^\mathsf{E}_i=\pmb u\cdot\bar{\pmb e}_i

$ u^i=[\pmb{u}]^\mathsf{\bar{E}}_i=\pmb u\cdot\pmb e_i

$ c_{ij}=[\pmb{c}]^\mathsf{EE}_{ij}

$ c^{ij}=[\pmb{c}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ij}

$ {c^i}_j=[\pmb{c}]^\mathsf{\bar{E}E}_{ij}

$ {c_i}^j=[\pmb{c}]^\mathsf{E\bar{E}}_{ij}

$ g^{ij} = [\pmb{I}]^\mathsf{\bar{E}\bar{E}}_{ij}=\bar{\pmb e}_i\cdot\bar{\pmb e}_j

$ g_{ij}= [\pmb{I}]^\mathsf{EE}_{ij}=\pmb e_i\cdot\pmb e_j

$ {\beta_{i'}}^j= [\pmb{I}]^\mathsf{F\bar{E}}_{ij}=\frac{\partial \bar{e}_j}{\partial\bar{f}_i}

$ {\beta^{i'}}_j= [\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ij}=[\pmb{I}]^\mathsf{E\bar{F}}_{ji}=\frac{\partial\bar{f}_i}{\partial\bar{e}_j}

微分

$ \phi_{,i}=\frac{\partial\phi}{\partial \bar{e}_i}=\pmb e_i\cdot\pmb\nabla\phi=\phi\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb e_i=[\phi\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_i

$ \pmb{r}_{,i}=\pmb{e}_i

$ u_{i,j}=\frac{\partial u_i}{\partial\bar e_j}=\frac{\partial[\pmb u]^{\sf E}_i}{\partial\bar e_j}=[\pmb u]^{\sf E}_i\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb e_j=(\pmb u\cdot\pmb e_i)\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb e_j=\left[[\pmb u]^{\sf E}_i\overleftarrow{\pmb\nabla}\right]^{\sf E}_j

$ \pmb g_{i,j}=\pmb\Gamma^{\sf EE }_{ji}=\pmb\Gamma^{\sf EE }_{ij}

$ {\Gamma_{ij}}^k=\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}\cdot\bar{\pmb e}_k

$ \Gamma_{ijk}=\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}\cdot\pmb e_k

$ v^i|_j=[\pmb\nabla\pmb v]^{\sf E\bar E}_{ji}=[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ij}

$ v_i|_j=[\pmb\nabla\pmb v]^{\sf EE}_{ji}=[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}

$ v_i|^j=[\pmb\nabla\pmb v]^{\sf\bar EE}_{ji}=[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E\bar E}_{ij}

$ v^i|^j=[\pmb\nabla\pmb v]^{\sf\bar E\bar E}_{ji}=[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}

計算

$ v^i|_j=\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}\cdot\bar{\pmb e}_i=\pmb e_j\cdot\pmb\nabla\pmb v\cdot\bar{\pmb e}_i=[\pmb\nabla\pmb v]^{\sf E\bar E}_{ji}=[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ij}

$ v^i|_j=\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_j}+[\pmb v]^{\sf\bar E}_k\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_i

$ [\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ij}=[[\pmb v]^{\sf\bar E}_i\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_j+[\pmb v]^{\sf\bar E}_k\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_i

$ v^i|_j=\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_j}+[\pmb v]^{\sf\bar E}_k\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_i

$ =\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_j}-[\pmb v]^{\sf\bar E}_k\pmb e_l\left(\pmb e_k\cdot\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jl}\right)\cdot\bar{\pmb e}_i

$ =\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jl}\pmb e_l\cdot\bar{\pmb e}_i

$ =\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jl}\llbracket l=i\rrbracket

$ =\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{ji}

$ =\frac{\partial [\pmb v]^{\sf \bar E}_i}{\partial \bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{ij}

$ v_i|_j=\frac{\partial [\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial \bar e_j}+[\pmb v]^{\sf E}_k\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jk}\cdot\pmb e_i

$ =\frac{\partial [\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial \bar e_j}-[\pmb v]^{\sf E}_k\bar{\pmb e}_l\left(\bar{\pmb e_k}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jl}\right)\cdot\pmb e_i

$ =\frac{\partial [\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial \bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jl}\bar{\pmb e}_l\cdot\pmb e_i

$ =\frac{\partial [\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial \bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ji}

$ =\frac{\partial [\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial \bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}

$ \frac{\partial [\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial \bar e_j}=(\pmb v\cdot\pmb e_i)\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb e_j

$ = \pmb e_i\cdot\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb e_j+\pmb v\cdot\pmb e_i\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb e_j

$ =[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}+\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ji}

$ \iff[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}=\frac{\partial [\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial \bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ji}

以上より

$ [\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}=[[\pmb v]^{\sf E}_i\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_j-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}

$ [\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ij}=[[\pmb v]^{\sf\bar E}_i\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_j-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{ij}

$ [\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E\bar E}_{ij}=[[\pmb v]^{\sf E}_i\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar E}_j-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{ij}

$ [\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}=[[\pmb v]^{\sf\bar E}_i\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar E}_j-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf\bar E\bar E}_{ij}

$ \phi|_i=\phi_{,i}=[\phi\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_i

$ A_{ij}|_k=[\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EEE}_{ijk}

$ {A^i}_j|_k=[\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EEE}_{ijk}

$ {A_i}^j|_k=[\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E\bar EE}_{ijk}

$ A^{ij}|_k=[\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar E\bar EE}_{ijk}

2階共変微分

$ v_i|_{jk}=v_i|_j|_k=\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}_{ij}|_k=[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EEE}_{ijk}

$ [\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EEE}_{ijk}=\frac{\partial}{\partial\bar e_k}\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_l}{\partial\bar e_m}\bar{\pmb e}_l\bar{\pmb e}_m+[\pmb v]^{\sf E}_l\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{lm}\bar{\pmb e}_m\right):\pmb e_i\pmb e_j

$ =\frac{\partial}{\partial\bar e_k}\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_l}{\partial\bar e_m}\bar{\pmb e}_l\bar{\pmb e}_m-[\pmb v]^{\sf E}_l\bar{\pmb e}_l\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{nm}\bar{\pmb e}_n\bar{\pmb e}_m\right):\pmb e_i\pmb e_j

$ \because\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{lm}=-\bar{\pmb e}_n\bar{\pmb e}_l\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{nm}

$ =\frac{\partial[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}+\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_l}{\partial\bar e_j}-[\pmb v]^{\sf E}_m\bar{\pmb e}_m\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{lj}\right)\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{lk}\cdot\pmb e_i+\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial\bar e_m}-[\pmb v]^{\sf E}_l\bar{\pmb e}_l\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{im}\right)\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{mk}\cdot\pmb e_j

$ =\frac{\partial[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}-\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_l}{\partial\bar e_j}-[\pmb v]^{\sf E}_m\bar{\pmb e}_m\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{lj}\right)(\bar{\pmb e}_n\bar{\pmb e}_l\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{nk})\cdot\pmb e_i-\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial\bar e_m}-[\pmb v]^{\sf E}_l\bar{\pmb e}_l\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{im}\right)(\bar{\pmb e}_n\bar{\pmb e}_m\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{nk})\cdot\pmb e_j

$ =\frac{\partial[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}-\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_l}{\partial\bar e_j}-[\pmb v]^{\sf E}_m\bar{\pmb e}_m\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{lj}\right)\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}\cdot\bar{\pmb e}_l-\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial\bar e_m}-[\pmb v]^{\sf E}_l\bar{\pmb e}_l\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{im}\right)\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_m

$ =\frac{\partial[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}-\left(\frac{\partial\pmb v\cdot\pmb e_l}{\partial\bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{lj}\right)\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}\cdot\bar{\pmb e}_l-\left(\frac{\partial\pmb v\cdot\pmb e_i}{\partial\bar e_m}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{im}\right)\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_m

$ =\frac{\partial[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}-\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}\cdot\pmb e_l\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}\cdot\bar{\pmb e}_l-\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_m}\cdot\pmb e_i\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_m

$ =\frac{\partial[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}-\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}-\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_m}\cdot\pmb e_i\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_m

$ =\frac{\partial[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}-\pmb e_j\cdot\pmb\nabla\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}-\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\pmb\nabla\pmb v\cdot\pmb e_i

$ =\frac{\partial\pmb e_j\cdot\pmb\nabla\pmb v}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb e_i+\pmb e_j\cdot\pmb\nabla\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}-\pmb e_j\cdot\pmb\nabla\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}-\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\pmb\nabla\pmb v\cdot\pmb e_i

$ =\frac{\partial\pmb e_j\cdot\pmb\nabla\pmb v}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb e_i-\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\pmb\nabla\pmb v\cdot\pmb e_i

$ [\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EEE}_{ijk}-[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EEE}_{ikj}=

$ -\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_l}{\partial\bar e_j}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{lj}\right)\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}\cdot\bar{\pmb e}_l+\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_l}{\partial\bar e_k}-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{lk}\right)\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}\cdot\bar{\pmb e}_l

$ =\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}-\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}+0

$ [[\pmb A]^{\sf EF}_{ij}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf G}_k=\frac{\partial}{\partial\bar g_k}(\pmb e_i\cdot\pmb A\cdot\pmb f_j)

$ = \pmb\Gamma^{\sf GE}_{ki}\cdot\pmb A\cdot\pmb f_j+\pmb e_i\cdot\pmb A\cdot\pmb\Gamma^{\sf GF}_{kj}+[\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EFG}_{ijk}

$ = [\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EFG}_{ijk}+[\pmb\Gamma^{\sf GE}_{ki}\cdot\pmb A]^{\sf F}_j+[\pmb A\cdot\pmb\Gamma^{\sf GF}_{kj}]^{\sf E}_i

$ \therefore[\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EFG}_{ijk}= [[\pmb A]^{\sf EF}_{ij}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf G}_k-[\pmb\Gamma^{\sf GE}_{ki}\cdot\pmb A]^{\sf F}_j-[\pmb A\cdot\pmb\Gamma^{\sf GF}_{kj}]^{\sf E}_i

簡単に導出できたが、あんまりきれいな形にはならないな

$ \therefore[\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EFG}_{ijk}= [[\pmb A]^{\sf EF}_{ij}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf G}_k-\pmb A:\pmb\Gamma^{\sf GEF}_{kij}

$ [\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EFG}_{ijk}=[[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EF}_{ij}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf G}_k-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf GEF}_{kij}

$ =[([[\pmb v]^{\sf E}_i\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf F}_j-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij})\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf G}_k-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf GEF}_{kij}

$ =[[[\pmb v]^{\sf E}_i\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf F}_j\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf G}_k-[(\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij})\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf G}_k-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf GEF}_{kij}

$ =\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial\bar g_k\partial\bar f_j}-[(\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij})\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf G}_k-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf GEF}_{kij}

$ =\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial\bar g_k\partial\bar f_j}-[\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}\cdot(\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla})]^{\sf G}_k-[\pmb v\cdot(\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}\overleftarrow{\pmb\nabla})]^{\sf G}_k-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf GEF}_{kij}

$ =\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial\bar g_k\partial\bar f_j}-\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar g_k}-\pmb v\cdot\frac{\partial^2\pmb e_i}{\partial\bar g_k\partial\bar f_j}-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf GEF}_{kij}

$ \therefore[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EFF}_{ijk}-[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EFF}_{ikj}=-\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_k}+\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ik}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_j}-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf FEF}_{kij}+\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf FEF}_{jik}

他の2項は打ち消し合う

$ =-\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_k}+\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ik}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_j}+\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:(\pmb e_i\pmb\Gamma^{\sf FF}_{jk}+\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ji}\pmb f_k-\pmb e_i\pmb\Gamma^{\sf FF}_{kj}-\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ki}\pmb f_j)

$ =-\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_k}+\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ik}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_j}+\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:(\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ji}\pmb f_k-\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ki}\pmb f_j)

$ =-\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ij}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_k}+\pmb\Gamma^{\sf EF}_{ik}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_j}+\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ji}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_k}-\pmb\Gamma^{\sf FE}_{ki}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar f_j}

$ =0

恒等的に0になるはずがない

$ [\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EEE}_{rjk}=\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf\bar E}_r}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{rj}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}-\pmb v\cdot\frac{\partial^2\bar{\pmb e}_r}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf E\bar EE }_{krj}

$ =\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf\bar E}_r}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\pmb v\cdot\frac{\partial^2\bar{\pmb e}_r}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{rj}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:\pmb\Gamma^{\sf E\bar EE }_{krj}

$ =\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf\bar E}_r}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb v-\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{rj}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}-\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}:(\bar{\pmb e}_r\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}+\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\pmb e_j)

$ =\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf\bar E}_r}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb v-\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{rj}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}-\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}-\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}

$ =\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf\bar E}_r}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb v-\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{rj}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}-\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}-\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}

$ =\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf\bar E}_r}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}\cdot\pmb v}{\partial\bar e_k}-\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}-\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}

うまく(6.6.3)に持っていけない。

$ \frac{\partial^2 v^r}{\partial u^k\partial u^j}=\frac{\partial^2[\pmb v]^{\sf\bar E}_r}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}

$ \frac{\partial\Gamma^r_{ji}}{\partial u^k}v^i+\Gamma^r_{ji}\frac{\partial v^i}{\partial u^k}=\frac{\partial\Gamma^r_{ji}v^i}{\partial u^k}

$ =\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ji}\cdot\bar{\pmb e}_r\pmb v\cdot\bar{\pmb e}_i}{\partial\bar e_k}

$ =-\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}\cdot\pmb e_i\pmb v\cdot\bar{\pmb e}_i}{\partial\bar e_k}

$ = -\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}\cdot\pmb v}{\partial\bar e_k}

$ \Gamma^r_{ki}\frac{\partial v^i}{\partial u^j}+\Gamma^r_{kl}\Gamma^l_{ji}v^i=\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ki}\frac{\partial\pmb v\cdot\bar{\pmb e}_i}{\partial\bar e_j}+\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kl}\bar{\pmb e}_l\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ji}\pmb v\cdot\bar{\pmb e}_i

$ = -\pmb e_i\cdot\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\frac{\partial\pmb v\cdot\bar{\pmb e}_i}{\partial\bar e_j}-\pmb e_l\cdot\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\bar{\pmb e}_l\cdot\frac{\partial\pmb e_i}{\partial\bar e_j}\pmb v\cdot\bar{\pmb e}_i

$ = -\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\cdot\pmb e_i\frac{\partial\pmb v\cdot\bar{\pmb e}_i}{\partial\bar e_j}-\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\cdot\frac{\partial\pmb e_i}{\partial\bar e_j}\pmb v\cdot\bar{\pmb e}_i

$ = -\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}

$ \sout{-\Gamma^i_{kj}\nabla_iv^r=[\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}]^{\sf\bar E}_i[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E\bar E}_{ir}}

$ \sout{=\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}\cdot\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\bar{\pmb e}_r}

これが合わない。nablaが転置してしまっている

$ \nabla_iv^j=\frac{\partial v^j}{\partial u^i}+\Gamma^j_{\bullet ik}v^k=[[\pmb v]^{\sf\bar E}_j\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_i-v^k\Gamma^{\bullet\bullet j}_{ki\bullet}=[[\pmb v]^{\sf\bar E}_j\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_i-\pmb v\cdot\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{ij}=[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ji}

添字が逆だった

$ -\Gamma^i_{kj}\nabla_iv^r=[\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}]^{\sf\bar E}_i[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ri}

$ =\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}

✅2階tensorの共変微分の式があっているか確認する

$ = [[\pmb T]^{\sf E\bar E}_{ij}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_k-\Gamma^{\bullet\bullet i}_{lk\bullet}T^l_j-\bar{\pmb e}_i\cdot\pmb T\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}

$ = [[\pmb T]^{\sf E\bar E}_{ij}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_k-\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{ki}\cdot\pmb T\cdot\pmb e_j-\bar{\pmb e}_i\cdot\pmb T\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}

$ = [[\pmb T]^{\sf E\bar E}_{ij}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_k-\pmb T:(\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{ki}\pmb e_j+\bar{\pmb e}_i\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj})

$ = [[\pmb T]^{\sf E\bar E}_{ij}\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_k-\pmb T:\pmb\Gamma^{\sf E\bar EE}_{kij}

$ =[\pmb T\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E\bar EE}_{ijk}

あってる

$ \nabla_k\nabla_j v^r-\nabla_j\nabla_k v^r=0-\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}\cdot\pmb v}{\partial\bar e_k}+\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\cdot\pmb v}{\partial\bar e_j}-\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}+\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}+0

$ =-\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb v+\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}}{\partial\bar e_j}\cdot\pmb v

$ =\left(\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}}{\partial\bar e_j}-\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}}{\partial\bar e_k}\right)\cdot\pmb v

だめだ。これも偏微分の交換法則から0になってしまう

$ {R_{kji}}^r=\frac{\partial{\Gamma^r}_{ji}}{\partial u^k}-\frac{\partial{\Gamma^r}_{ki}}{\partial u^j}+\Gamma^r_{\bullet kl}\Gamma^l_{\bullet ji}-\Gamma^r_{\bullet jl}\Gamma^l_{\bullet ki}

$ =\frac{\partial\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ji}}{\partial\bar e_k}-\frac{\partial\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ki}}{\partial\bar e_j}-\Gamma^{\bullet\bullet r}_{lk\bullet}\Gamma^l_{\bullet ji}+\Gamma^{\bullet\bullet r}_{lj\bullet}\Gamma^l_{\bullet ki}

$ =\frac{\partial\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ji}}{\partial\bar e_k}-\frac{\partial\bar{\pmb e}_r\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ki}}{\partial\bar e_j}-\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{kr}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ji}+\pmb\Gamma^{\sf E\bar E}_{jr}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ki}

$ =\bar{\pmb e}_r\cdot\left(\frac{\partial^2\pmb e_i}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\frac{\partial^2\pmb e_i}{\partial\bar e_j\partial\bar e_k}\right)

$ =0

やっぱり0じゃん。どうすればいいんだ……

$ \pmb f_\mu=[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{\mu\lambda}\pmb e_\lambda

$ \pmb\Gamma^{\sf FF}_{\nu\mu}=\frac{\partial\pmb f_\mu}{\partial\bar f_\nu}=\frac{\partial[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{\mu\lambda}}{\partial\bar f_\nu}\pmb e_\lambda+[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{\mu\lambda}\frac{\partial\pmb e_\lambda}{\partial\bar e_\alpha}[\pmb I]^{\sf F\bar E}_{\nu\alpha}

わからん！

$ \frac{\partial[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}=\frac{\partial}{\partial\bar e_k}\left(\frac{\partial[\pmb v]^{\sf E}_i}{\partial\bar e_j}-[\pmb v]^{\sf E}_l\bar{\pmb e}_l\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}\right)

$ = \frac{\partial^2\pmb v\cdot\pmb e_i}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}-\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}-\pmb v\cdot\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}

$ = \frac{\partial^2\pmb v}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}\cdot\pmb e_i+2\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}+\pmb v\cdot\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}-\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}-\pmb v\cdot\frac{\partial\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}

$ \frac{\partial[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}=\frac{\partial}{\partial\bar e_k}\left(\pmb e_i\cdot\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}\right)=\frac{\partial^2\pmb v}{\partial\bar e_k\partial\bar e_j}\cdot\pmb e_i+\frac{\partial\pmb v}{\partial\bar e_j}\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}

2階tensorの共変微分の導出

$ (\pmb u\cdot\pmb A\cdot\pmb v)|_k=\frac{\partial}{\partial\bar e_k}[\pmb u]^{\sf\bar E}_i[\pmb A]^{\sf EE}_{ij}[\pmb v]^{\sf\bar E}_j

$ =[\pmb u\pmb v]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}\frac{\partial[\pmb A]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}+\left([\pmb u\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ik}-[\pmb u]^{\sf\bar E}_l\pmb\Gamma^{\sf EE}_{lk}\cdot\bar{\pmb e}_i\right)[\pmb A\cdot\pmb v]^{\sf E}_i+\left([\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ik}-[\pmb v]^{\sf\bar E}_l\pmb\Gamma^{\sf EE}_{lk}\cdot\bar{\pmb e}_i\right)[\pmb A\cdot\pmb u]^{\sf E}_i

$ =[\pmb u\pmb v]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}A_{ij}|_k+[\pmb u\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ik}[\pmb A\cdot\pmb v]^{\sf E}_i+[\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf\bar EE}_{ik}[\pmb A\cdot\pmb u]^{\sf E}_i

$ =[\pmb u\pmb v]^{\sf\bar E\bar E}_{ij}A_{ij}|_k+[\pmb v\cdot\pmb A\cdot\pmb u\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_k+[\pmb u\cdot\pmb A\cdot\pmb v\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf E}_k

ここで

$ A_{ij}|_k=\frac{\partial[\pmb A]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}-\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ik}\cdot\bar{\pmb e}_l[\pmb A]^{\sf EE}_{lj}-\pmb\Gamma^{\sf EE}_{kj}\cdot\bar{\pmb e}_l[\pmb A]^{\sf EE}_{il}

$ [\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}]^{\sf EEE}_{ijk}=\frac{\partial[\pmb A]^{\sf EE}_{ij}\bar{\pmb e}_i\bar{\pmb e}_j}{\partial\bar e_k}:\pmb e_i\pmb e_j

$ =\frac{\partial[\pmb A]^{\sf EE}_{ij}}{\partial\bar e_k}+[\pmb A]^{\sf EE}_{ij}\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{ik}\cdot\pmb e_i+[\pmb A]^{\sf EE}_{ij}\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{jk}\cdot\pmb e_j

2階tensorの共変微分係数は、

$ A_{ij}|_k=\left[\frac{\partial\pmb{A}}{\partial\bar{e}_k}\right]^\mathsf{EE}_{ij}= \frac{\partial\pmb A}{\partial\bar e_k}:\pmb e_i\pmb e_j=(\pmb\nabla\pmb A):\pmb e_k\pmb e_i\pmb e_j=(\pmb A\overleftarrow{\pmb\nabla}):\pmb e_i\pmb e_j\pmb e_k

証明

$ A_{ij}|_k=\frac{\partial A_{ij}}{\partial\bar e_k}-A_{lj}\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ki}\cdot\bar{\pmb e}_l-A_{il}\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}\cdot\bar{\pmb e}_l

$ = \frac{\partial\pmb A:\pmb e_i\pmb e_j}{\partial\bar e_k}-\pmb\Gamma^{\sf EE}_{ki}\cdot\pmb A\cdot\pmb e_j-\pmb e_i\cdot\pmb A\cdot\pmb\Gamma^{\sf EE}_{jk}

$ = \frac{\partial\pmb e_i\cdot\pmb A\cdot\pmb e_j}{\partial\bar e_k}-\frac{\partial\pmb e_i}{\partial\bar e_k}\cdot\pmb A\cdot\pmb e_j-\pmb e_i\cdot\pmb A\cdot\frac{\partial\pmb e_j}{\partial\bar e_k}

$ = \frac{\partial\pmb A}{\partial\bar e_k}:\pmb e_i\pmb e_j