tensorの成分表示式を導出し直す

https://kakeru.app/80ba4f6b443122facbbbfb391448cfaa https://i.kakeru.app/80ba4f6b443122facbbbfb391448cfaa.svg

$ [\bar{\pmb{e}}_i]^\mathsf{E}_j=\llbracket i=j\rrbracket

https://kakeru.app/732f33235707d1bf88b1c6239f5a431d https://i.kakeru.app/732f33235707d1bf88b1c6239f5a431d.svg

成分表示とdot積との関係式

$ [\pmb{a}]^\mathsf{E}=\pmb{a}\cdot\pmb{e}_i

https://kakeru.app/1673b10aa8befc9fbe45b7713ead16f9 https://i.kakeru.app/1673b10aa8befc9fbe45b7713ead16f9.svg

$ [G]_{ij}=\bar{\pmb{e}}_i\cdot\bar{\pmb{e}}_j=\bar{\pmb{e}}_j\cdot\bar{\pmb{e}}_i=[G]_{ji}

$ [G]_{ii}=\bar{\pmb{e}}_i\cdot\bar{\pmb{e}}_i=|\bar{\pmb{e}}_i|^2>0

ここまで導出できれば、あとは簡単なはず

https://kakeru.app/b70158194d130eebb2e11cd7770f4227 https://i.kakeru.app/b70158194d130eebb2e11cd7770f4227.svg

1行で終わった

$ [\pmb{I}]^\mathsf{EF}_{ij}=\pmb{e}_i\cdot\pmb{f}_j

$ [\bar{\pmb{f}}_i]^\mathsf{E}_j=\bar{\pmb{f}}_i\cdot\pmb{e}_i=[\pmb{I}]^\mathsf{\bar{F}E}_{ij}

https://kakeru.app/1446f9fdf088ab6739473a9844e6dd06 https://i.kakeru.app/1446f9fdf088ab6739473a9844e6dd06.svg

https://kakeru.app/afc0f466ec490a3e4b51820c57c1a357 https://i.kakeru.app/afc0f466ec490a3e4b51820c57c1a357.svg

$ 0=\mathrm{d}(\pmb{e}_i\cdot\bar{\pmb{e}}_j)=\pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{ik}\mathrm{d}\bar{e}_k\cdot\bar{\pmb{e}}_j+\pmb{e}_i\cdot\pmb{\Gamma}^\mathsf{\bar{E}E}_{jk}\mathrm{d}\bar{e}_k

$ \implies\pmb{\Gamma}^\mathsf{\bar{E}E}_{jk}\cdot\pmb{e}_i=-\pmb{\Gamma}^\mathsf{EE}_{ik}\cdot\bar{\pmb{e}}_j

$ \pmb{\Gamma}^\mathsf{EF}_{ij}=\frac{\partial\pmb{e}_i}{\partial\bar{f}_j}=\frac{\partial^2\pmb{r}}{\partial\bar{f}_j\partial\bar{e}_i}=\frac{\partial^2\pmb{r}}{\partial\bar{e}_i\partial\bar{f}_j}=\pmb{\Gamma}^\mathsf{FE}_{ji}

これ考える意味あるのかな？

https://kakeru.app/c150eae06b1ac919e04418edc60db379 https://i.kakeru.app/c150eae06b1ac919e04418edc60db379.svg