1階のtensorの成分表示の座標変換
基底$ \mathcal{S}:=\{\pmb{e}_0,\pmb{e}_1,\pmb{e}_2\},\mathcal{T}:=\{\pmb{k}_0,\pmb{k}_1,\pmb{k}_2\}とする
$ [\pmb{x}]^\mathcal{S} から$ [\pmb{x}]^\mathcal{T} への変換式を求める
$ \pmb{x}= [\pmb{x}]^\mathcal{S}_0\pmb{e}_0+[\pmb{x}]^\mathcal{S}_1\pmb{e}_1+[\pmb{x}]^\mathcal{S}_1\pmb{e}_1
$ \pmb{x}を$ \cal Sでばらす
$ \begin{aligned}=& [\bm{x}]^\mathcal{S}_0\left([\bm{e}_0]^\mathcal{T}_0\bm{k}_0+[\bm{e}_0]^\mathcal{T}_1\bm{k}_1+[\bm{e}_0]^\mathcal{T}_2\bm{k}_2\right)+ \\& [\bm{x}]^\mathcal{S}_1\left([\bm{e}_1]^\mathcal{T}_0\bm{k}_0+[\bm{e}_1]^\mathcal{T}_1\bm{k}_1+[\bm{e}_1]^\mathcal{T}_2\bm{k}_2\right)+ \\& [\bm{x}]^\mathcal{S}_2\left([\bm{e}_2]^\mathcal{T}_0\bm{k}_0+[\bm{e}_2]^\mathcal{T}_1\bm{k}_1+[\bm{e}_2]^\mathcal{T}_2\bm{k}_2\right) \end{aligned}
$ \pmb{e}_\bulletを$ \cal Tでばらす
$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}=\mat{\pmb{k}_0\\\pmb{k}_1\\\pmb{k}_2}^\top\mat{[\pmb{e}_0]^\mathcal{T}_0&[\pmb{e}_1]^\mathcal{T}_0&[\pmb{e}_2]^\mathcal{T}_0\\ [\pmb{e}_0]^\mathcal{T}_1&[\pmb{e}_1]^\mathcal{T}_1&[\pmb{e}_2]^\mathcal{T}_1\\ [\pmb{e}_0]^\mathcal{T}_2&[\pmb{e}_1]^\mathcal{T}_2&[\pmb{e}_2]^\mathcal{T}_2}\mat{[\pmb{x}]^\mathcal{S}_0\\ [\pmb{x}]^\mathcal{S}_1\\ [\pmb{x}]^\mathcal{S}_2}
右辺の$ \pmb{x} を$ [\pmb{x}]^\mathcal{T} で表現しなおす
$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\mat{[\pmb{x}]^\mathcal{T}_0\\ [\pmb{x}]^\mathcal{T}_1\\ [\pmb{x}]^\mathcal{T}_2}=\mat{[\pmb{e}_0]^\mathcal{T}_0&[\pmb{e}_1]^\mathcal{T}_0&[\pmb{e}_2]^\mathcal{T}_0\\ [\pmb{e}_0]^\mathcal{T}_1&[\pmb{e}_1]^\mathcal{T}_1&[\pmb{e}_2]^\mathcal{T}_1\\ [\pmb{e}_0]^\mathcal{T}_2&[\pmb{e}_1]^\mathcal{T}_2&[\pmb{e}_2]^\mathcal{T}_2}\mat{[\pmb{x}]^\mathcal{S}_0\\ [\pmb{x}]^\mathcal{S}_1\\ [\pmb{x}]^\mathcal{S}_2}
$ \def\mat#1{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}}\therefore [\pmb{x}]^\mathcal{T}=\mat{[\pmb{e}_0]^\mathcal{T}_0&[\pmb{e}_1]^\mathcal{T}_0&[\pmb{e}_2]^\mathcal{T}_0\\ [\pmb{e}_0]^\mathcal{T}_1&[\pmb{e}_1]^\mathcal{T}_1&[\pmb{e}_2]^\mathcal{T}_1\\ [\pmb{e}_0]^\mathcal{T}_2&[\pmb{e}_1]^\mathcal{T}_2&[\pmb{e}_2]^\mathcal{T}_2}[\pmb{x}]^\mathcal{S}
この行列を$ \pmb{Q}(\cal T, S)と定義すれば
$ [\pmb{x}]^\mathcal{T}=\pmb{Q}(\cal T,S)[\pmb{x}]^\mathcal{S}
となる。
$ \begin{cases}[\pmb{f}(\bm{x})]^\mathcal{T} &= [\pmb{f}]^\mathcal{TS} &[\bm{x}]^\mathcal{S}\\ [\bm{x}]^\mathcal{T} &= Q(\mathcal{T, S}) &[\bm{x}]^\mathcal{S}\end{cases}
$ \pmb{f}に$ \pmb{x}\mapsto \pmb{x}を代入すれば完全に一致する
$ [\pmb{x}\mapsto \pmb{x}]^\mathcal{TS}= Q(\mathcal{T, S})