線型写像から行列を導く
vectorからvectorへの線形写像で変換したvectorを成分表示しようとすると、表現行列と行列積が自然に導かれる 簡単のため、3次元で考える
n次元で考えても同じ
任意の基底$ \mathcal{S}=\{\bm{e}_0,\bm{e}_1,\bm{e}_2\},\mathcal{T}=\{\bm{e'}_0,\bm{e'}_1,\bm{e'}_2\}にて、$ \bm{x} = x_0\bm{e}_0+x_1\bm{e}_1+x_2\bm{e}_2とする
まず、線型写像$ \pmb{f}による変換を考える
$ \pmb{f}(\bm{x})=\pmb{f}\left([\bm{x}]^\mathcal{S}_0\bm{e}_0+[\bm{x}]^\mathcal{S}_1\bm{e}_1+[\bm{x}]^\mathcal{S}_2\bm{e}_2\right)
$ =[\bm{x}]^\mathcal{S}_0f(\bm{e}_0)+[\bm{x}]^\mathcal{S}_1f(\bm{e}_1)+[\bm{x}]^\mathcal{S}_2f(\bm{e}_2)
$ \pmb{f}の線型性$ \pmb{f}(k\pmb{a}+k\pmb{b})=k\pmb{f}(\pmb{a})+l\pmb{f}(\pmb{b})を使った $ \begin{aligned}=& [\bm{x}]^\mathcal{S}_0\left([\pmb{f}(\bm{e}_0)]^\mathcal{T}_0\bm{e'}_0+[\pmb{f}(\bm{e}_0)]^\mathcal{T}_1\bm{e'}_1+[\pmb{f}(\bm{e}_0)]^\mathcal{T}_2\bm{e'}_2\right)+ \\& [\bm{x}]^\mathcal{S}_1\left([\pmb{f}(\bm{e}_1)]^\mathcal{T}_0\bm{e'}_0+[\pmb{f}(\bm{e}_1)]^\mathcal{T}_1\bm{e'}_1+[\pmb{f}(\bm{e}_1)]^\mathcal{T}_2\bm{e'}_2\right)+ \\& [\bm{x}]^\mathcal{S}_2\left([\pmb{f}(\bm{e}_2)]^\mathcal{T}_0\bm{e'}_0+[\pmb{f}(\bm{e}_2)]^\mathcal{T}_1\bm{e'}_1+[\pmb{f}(\bm{e}_2)]^\mathcal{T}_2\bm{e'}_2\right) \end{aligned}
vector$ \pmb{f}(\bullet)を基底$ \cal Tの線型結合に直した
$ =\begin{pmatrix}\bm{e'}_0\\\bm{e'}_1\\\bm{e'}_1\\\end{pmatrix}^{\!\top} \underbrace{\begin{pmatrix} [\pmb{f}(\bm{e}_0)]^\mathcal{T}_0 & [\pmb{f}(\bm{e}_1)]^\mathcal{T}_0 & [\pmb{f}(\bm{e}_2)]^\mathcal{T}_0 \\ [\pmb{f}(\bm{e}_0)]^\mathcal{T}_1 & [\pmb{f}(\bm{e}_1)]^\mathcal{T}_1 & [\pmb{f}(\bm{e}_2)]^\mathcal{T}_1 \\ [\pmb{f}(\bm{e}_0)]^\mathcal{T}_2 & [\pmb{f}(\bm{e}_1)]^\mathcal{T}_2 & [\pmb{f}(\bm{e}_2)]^\mathcal{T}_2 \\ \end{pmatrix}}_{\normalsize \pmb{f}の基底\mathcal{S}と\mathcal{T}における表現行列} \begin{pmatrix}[\bm{x}]^\mathcal{S}_0\\ [\bm{x}]^\mathcal{S}_1\\ [\bm{x}]^\mathcal{S}_2 \end{pmatrix}
角括弧がいかつい感じになって視認性が悪いのが欠点だな
なんとか出来ないかな……
空白を入れるか？
左辺も基底$ \cal Tにおけるtensorの成分表示に直すと、おなじみのvector = matrix x vectorの形になる $ \begin{pmatrix}[\pmb{f}(\bm{x})]^\mathcal{T}_0\\ [\pmb{f}(\bm{x})]^\mathcal{T}_1\\ [\pmb{f}(\bm{x})]^\mathcal{T}_2 \end{pmatrix} = \underbrace{\begin{pmatrix} [\pmb{f}(\bm{e}_0)]^\mathcal{T}_0 & [\pmb{f}(\bm{e}_1)]^\mathcal{T}_0 & [\pmb{f}(\bm{e}_2)]^\mathcal{T}_0 \\ [\pmb{f}(\bm{e}_0)]^\mathcal{T}_1 & [\pmb{f}(\bm{e}_1)]^\mathcal{T}_1 & [\pmb{f}(\bm{e}_2)]^\mathcal{T}_1 \\ [\pmb{f}(\bm{e}_0)]^\mathcal{T}_2 & [\pmb{f}(\bm{e}_1)]^\mathcal{T}_2 & [\pmb{f}(\bm{e}_2)]^\mathcal{T}_2 \\ \end{pmatrix}}_{\pmb{f}の基底\mathcal{S}と\mathcal{T}における表現行列} \begin{pmatrix}[\bm{x}]^\mathcal{S}_0\\ [\bm{x}]^\mathcal{S}_1\\ [\bm{x}]^\mathcal{S}_2 \end{pmatrix}
$ \begin{pmatrix}[\bm{x}]^\mathcal{S}_0\\ [\bm{x}]^\mathcal{S}_1\\ [\bm{x}]^\mathcal{S}_2 \end{pmatrix} は $ [\bm{x}]^\mathcal{S} の書き換えであることを使うと、$ \bm{y} = \pmb{f}(\bm{x})とほぼ同等の簡潔さで成分表示による数式を書くことができる
$ [\pmb{f}(\bm{x})]^\mathcal{T} = [\pmb{f}]^\mathcal{TS} [\bm{x}]^\mathcal{S}
つまり、
vectorからvectorへの線型写像にvectorを代入した値を特定の基底で計算しようとすると、行列積が自然と導出される こういうのって構成主義的って言うんだろうか？takker.icon もう少し考えたい
1. $ \begin{pmatrix}[\pmb{f}(\bm{e}_0)]^\mathcal{T}_0\\ [\pmb{f}(\bm{e}_0)]^\mathcal{T}_1\\ [\pmb{f}(\bm{e}_0)]^\mathcal{T}_2 \end{pmatrix} = [\pmb{f}(\bm{e}_0)]^\mathcal{T} = [\pmb{f}]^\mathcal{TS}[\bm{e}_0]^\mathcal{S} = \begin{pmatrix} [\pmb{f}(\bm{e}_0)]^\mathcal{T}_0 & [\pmb{f}(\bm{e}_1)]^\mathcal{T}_0 & [\pmb{f}(\bm{e}_2)]^\mathcal{T}_0 \\ [\pmb{f}(\bm{e}_0)]^\mathcal{T}_1 & [\pmb{f}(\bm{e}_1)]^\mathcal{T}_1 & [\pmb{f}(\bm{e}_2)]^\mathcal{T}_1 \\ [\pmb{f}(\bm{e}_0)]^\mathcal{T}_2 & [\pmb{f}(\bm{e}_1)]^\mathcal{T}_2 & [\pmb{f}(\bm{e}_2)]^\mathcal{T}_2 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}
$ [\bm{e}_0]^\mathcal{S}=\begin{pmatrix}[\bm{e}_0]^\mathcal{S}_0\\ [\bm{e}_0]^\mathcal{S}_1\\ [\bm{e}_0]^\mathcal{S}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} を使った
2. $ = [\pmb{f}(\bm{e'}_0)]^\mathcal{T} = [\pmb{f}]^\mathcal{TS}[\bm{e'}_0]^\mathcal{S}
References