線型写像
$ \bf K上の線型空間$ \bf V,Wと$ \mathbf Vの部分線型空間$ \mathbf Dにて、以下を満たす写像$ f:D\to Wを線型写像と呼ぶ $ \forall\alpha,\beta\in K\forall\bm u,\bm v\in D:f(\alpha\bm u+\beta\bm v)=\alpha f(\bm u)+\beta f(\bm v)
$ \bf K-線型空間$ \bf V,W上の線型写像全体の集合を$ \mathcal L(\mathbf V,\mathbf W)で表している 体$ \bf Kと$ Kをvectorの集合とした$ \bf K-線型空間を同じ$ \bf Kで表すことにする
$ \mathcal L(\mathbf V,\mathbf K)が$ \bf V上の線型汎函数の集合になる $ \mathbf V^*:=((\mathcal L(\mathbf V,\mathbf K),+),\mathbf K,\cdot)が双対空間となる $ \bf V=\bf Wのとき特に線型変換と呼ぶ事例もある