部分線型空間 - くたくたじゅうよん

部分線型空間

任意の$ \bf K-線型空間$ \bf Vと$ \forall S\in2^V\setminus\{\varnothing\}にて、$ Sが以下を満たすとき、$ \mathbf S:=((S,+),\mathbf K,\cdot)を$ \bf Vの部分線型空間という

1. ($ +の閉性)$ \forall u,v\in S:u+v\in S

2. ($ \cdotの閉性)$ \forall\alpha\in K\forall u\in S:\alpha u\in S

性質

$ \bf Sは線型空間をなす

$ K上の線型空間$ Vと$ \forall\underline S\subseteq\underline Vにて、$ +,\cdotが$ Sで閉じているとき、$ S=(\underline S,K,+,\cdot)を$ Vの部分空間もしくは部分ベクトル空間と呼ぶ

$ \forall\lambda,\mu\in\underline K\forall\bm a,\bm b\in\underline S.\lambda\bm a+\mu\bm b\in\underline S

第4章で「線型部分空間」が出てきて、ややこしい

同じものなのかはまだわからない

ここでは部分線型空間と呼ぶことにする

ここから$ \bm0\in\underline Sが自動的に導かれる

$ Sも線型空間をなす

$ \dim S\le\dim Vが成り立つ

特に$ \dim S=\dim V\iff S=Vである

紛らわしい言い方なので控える