体積変化率
$ J:=\det\bm F
$ \left.\mathrm dv\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=J\mathrm dV
導出
$ \left.\mathrm dv\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=((\bm\phi\overleftarrow\bm\nabla\cdot\mathrm d\bm X_0)\times(\bm\phi\overleftarrow\bm\nabla\cdot\mathrm d\bm X_1))\cdot (\bm\phi\overleftarrow\bm\nabla\cdot\mathrm d\bm X_2)ー①
$ =(\det\bm\phi\overleftarrow\bm\nabla)\mathrm dVー②
①から②で以下の関係を使った
$ ((\bm B\cdot\bm a)\times(\bm B\cdot\bm b))\cdot\bm B\cdot\bm c= \epsilon_{ijk}B_{il}B_{jm}B_{kn}a_lb_mc_n
適当な直線正規直交基底で成分表示した
$ = \epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}B_{i0}B_{j1}B_{k2}a_lb_mc_n
$ = (\det\bm B)(\bm a\times\bm b)\cdot\bm c