極分解

$ \pmb{A}=\pmb{R}\cdot\pmb{U}

$ \pmb R^\top=\pmb R^{-1}

$ \pmb U^\top=\pmb U

左と右の区別がある

$ \pmb V^\top=\pmb V

名前

具体的な分解方法はきわめて簡単

$ \pmb U=\sqrt{\pmb A^\top\cdot\pmb A}

$ \pmb R=\pmb A\cdot\pmb U^{-1}

$ \pmb V=\sqrt{\pmb A\cdot\pmb A^\top}

用途

連続体の変形に着目するのに重要なtensorとなる

$ A^\top=\pmb{U}\cdot\pmb{R}^{-1}

$ \pmb{U}=\sqrt{\pmb{A}^\top\pmb{A}}

$ [A]^\mathsf{EE}_{ij}=:A_{ij}

$ [\pmb{A}^\top\pmb{A}]^\mathsf{EE}_{ij}=\sum_k A_{ki}A_{kj}

$ \det(\pmb{A}^\top\pmb{A}-\lambda\pmb{I})=0

$ \iff \lambda^2-\mathrm{tr}(\pmb{A}^\top\pmb{A})\lambda+\det(\pmb{A}^\top\pmb{A})=0

$ \iff \lambda^2-(A_{00}^2+A_{10}^2+A_{01}^2+A_{11}^2)\lambda+\det(\pmb{A})^2=0

$ (A_{00}^2+A_{10}^2+A_{01}^2+A_{11}^2)^2-4\det(\pmb{A})^2

$ =(A_{00}^2+A_{10}^2+A_{01}^2+A_{11}^2+2\det\pmb{A})(A_{00}^2+A_{10}^2+A_{01}^2+A_{11}^2-2\det\pmb{A})

$ =((A_{00}+A_{11})^2+(A_{01}+A_{10})^2)((A_{00}-A_{11})^2+(A_{01}-A_{10})^2)

$ \ge0

$ \therefore\lambda=A_{00}^2+A_{10}^2+A_{01}^2+A_{11}^2\pm\sqrt{(A_{00}+A_{11})^2+(A_{01}+A_{10})^2}\sqrt{(A_{00}-A_{11})^2+(A_{01}-A_{10})^2}

$ =:\alpha^2+\beta^2\pm\gamma\delta

$ p_0(-\beta^2\mp\gamma\delta)+p_1(A_{00}A_{01}+A_{10}A_{11})=0

$ p_0(A_{00}A_{01}+A_{10}A_{11})+p_1(-\alpha^2\pm\gamma\delta)=0

$ [\pmb{R}]^\mathrm{EE}=[\pmb{A}]^\mathsf{EE}([\pmb{I}]^\mathsf{ER}[\pmb{U}]^\mathsf{RR}[\pmb{I}]^\mathsf{RE})^{-1}

$ =[\pmb{A}]^\mathsf{EE}[\pmb{I}]^\mathsf{ER}{[\pmb{U}]^\mathsf{RR}}^{-1}[\pmb{I}]^\mathsf{RE}

$ =[\pmb{A}]^\mathsf{ER}[\pmb{U}^{-1}]^\mathsf{RE}

基本不変量

$ \mathrm{tr}(\pmb A^\top\cdot\pmb A)=\pmb A:\pmb A

$ (\pmb A^\top\cdot\pmb A):(\pmb A^\top\cdot\pmb A)=\mathrm{tr}(\pmb A^4)

$ \det(\pmb A^\top\cdot\pmb A)=(\det\pmb A)^2

$ J_1=\pmb A:\pmb A

$ J_2=\frac12(J_1^2-\mathrm{tr}(\pmb A^\top\cdot\pmb A\cdot\pmb A^\top\cdot\pmb A))

$ A_{ij}A_{ij}A_{kl}A_{kl}-A_{ki}A_{kj}A_{lj}A_{li}

$ =A_{ij}A_{ij}A_{kl}A_{kl}-A_{ij}A_{il}A_{kl}A_{kj}

$ =A_{ij}A_{kl}(A_{ij}A_{kl}-A_{il}A_{kj})

$ J_3=(\det\pmb A)^2

$ {\cal\pmb D}:(\pmb A^\top\cdot\pmb A)=\pmb A^\top\cdot\pmb A-\frac1{\mathrm{tr}\pmb I}(\pmb A:\pmb A)\pmb I

$ S_2=\frac12\frac{1-\mathrm{tr}\pmb I}{\mathrm{tr}\pmb I}J_1^2+J_2

$ \pmb A^\top\cdot\pmb A=(\pmb A_S-\pmb A_W)\cdot(\pmb A_S+\pmb A_W)

$ = \pmb A_S^2+(\pmb A_S\cdot\pmb A_W-\pmb A_W\cdot\pmb A_S)-\pmb A_W^2

$ \pmb A^\top\cdot\pmb A=2{\cal\pmb S}:\pmb\Delta+\pmb\Delta^\top\cdot\pmb\Delta+\pmb I