変形勾配tensorの極分解

$ \bm F=\bm R\cdot\bm U

$ \bm R：(一般的な名称なし？)

$ \bm F=\bm V\cdot\bm R

変形勾配tensorから剛体回転作用を取り除いて、有限変形作用を取り出すのに使う

連続体の変形に着目するのに重要なtensorとなる

$ \bm\Omega^\circ:=\dot{\bm R}\cdot\bm R^{-1}としておく。

$ \bm\Omega^\circ=-{\bm\Omega^\circ}^\topが成り立つ

$ \left.\bm l\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F=\dot{\bm F}=\dot{\bm R}\cdot\bm U+\bm R\cdot\dot{\bm U}

$ = \bm\Omega^\circ\cdot\bm R\cdot\bm U+\bm R\cdot\dot{\bm U}

$ = \bm\Omega^\circ\cdot\bm F+\bm R\cdot\dot{\bm U}

$ \iff\left.\bm l\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=\bm\Omega^\circ+\bm R\cdot\dot{\bm U}\cdot\bm F^{-1}

$ =\bm\Omega^\circ+\bm R\cdot\dot{\bm U}\cdot\bm U^{-1}\cdot\bm R^\top

$ \implies\left.\bm d\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=\bm R\cdot\frac12(\dot{\bm U}\cdot\bm U^{-1}+\bm U^{-1}\cdot\dot{\bm U}^\top)\cdot\bm R^\top

$ \bm C=\bm F^\top\cdot\bm F=\bm U\cdot\bm R^\top\cdot\bm R\cdot\bm U=\bm U^2

$ \dot{\bm E}=\frac12\dot{\bm C}=\frac12(\dot{\bm U}\cdot\bm U+\bm U\cdot\dot{\bm U})