体積変化率の時間導函数

体積変化率$ (\bm X,t)\mapsto Jの物質微分変化率

$ \dot J=J\left.\bm\nabla\cdot\bm v\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}

表記いろいろ

$ \frac{\partial J}{\partial t}=J\left.\bm\nabla\cdot\bm v\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}

右側の変更

$ \dot J=J\left.{\rm tr}\bm l\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}

$ =J\left.{\rm tr}\bm d\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}

$ {\rm tr}\frac12(\bm A+\bm A^\top)={\rm tr}\bm Aなので$ {\rm tr}\bm d={\rm tr}\bm l

$ =J({\rm tr}{\bm F^\top}^{-1}\cdot\dot{\bm E}\cdot\bm F^{-1})

$ \dot{\bm E}=\bm F^\top\cdot\left.\bm d\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm Fを使った

$ =J(\bm F^{-1}\cdot{\bm F^\top}^{-1}):\dot{\bm E}^\top

$ =J(\bm F^\top\cdot\bm F)^{-1}:\dot{\bm E}^\top

$ = J\bm C^{-1}:\dot\bm E

$ \dot\bm E^\top=\dot\bm Eも使った

$ = \frac12J\bm C^{-1}:\dot\bm C

$ \because \dot\bm E=\frac12\dot\bm C

対数を取ると$ Jについて解ける

$ \frac{\partial\ln J}{\partial t}=\frac12\bm C^{-1}:\dot\bm C

$ \iff J=C\exp\left(\int\frac12\bm C^{-1}:\dot\bm C\mathrm dt\right)\quad\text{.for }\exist C\in\R

物理的意味

$ \bm\nabla\cdot\bm vは空間表示された微小領域での湧き出し/吸い込みを表す

もし$ \bm\nabla\cdot\bm v=0なら非圧縮性連続体となるから、時間によらず体積が一定になることを表す

導出

$ \dot J=\frac\partial{\partial t}\det\bm F

$ =(\det\bm F){{\bm F}^\top}^{-1}:\frac{\partial\bm F}{\partial t}

$ =J{{\bm F}^\top}^{-1}:\dot{\bm F}

$ =J{\rm tr}\left(\bm F^{-1}\cdot\dot\bm F\right)

$ =J{\rm tr}\left(\bm l(\bm\phi(\bm X,t),t)^\top\right)

$ \because\bm l=\left.(\dot{\bm{F}}\cdot{\bm{F}^{-1}})\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}

$ =J{\rm tr}\left.(\bm\nabla\bm v)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}

$ =J\left.\bm\nabla\cdot\bm v\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}