物質微分
$ \frac{\mathrm{D}\bullet}{\mathrm{D}t}:=\frac{\partial\bullet}{\partial t}+\bm v\cdot\bm{\nabla}\bullet
$ \bulletには物質表示した函数を入れる
導出
運動函数$ (\bm{X},t)\mapsto\bm{\phi}を用いる 空間表示の函数$ (\bm{x},t)\mapsto\bm{f}を物質表示に変換した$ \bm f(\bm\phi(\bm X,t),t)を時間微分したあと、再び空間表示に戻せばいい
$ \frac{\mathrm{D}\bm{f}}{\mathrm{D}t}=\left.\frac{\partial \bm{f}(\bm{\phi},t)}{\partial t}\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}}
$ =\frac{\partial \bm{f}(\bm x,t)}{\partial t}+\left.\left(\dot{\bm{\phi}}\cdot\left.\bm{\nabla}\bm{f}\right|_{\bm{x}=\bm{\phi}}\right)\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}}
第二項は合成函数の微分をしているだけ
$ =\frac{\partial \bm{f}}{\partial t}+\bm v\cdot\bm{\nabla}\bm{f}
$ \because\bm v=\dot{\bm\phi}({\bm\phi}^{-1}(\bm x,t),t)
図解
$ \bm{x}にいる物質点が微小時間$ \mathrm{d}tで$ \bm{x}+\mathrm{d}\bm{l}だけ移動したとき、空間表示の函数$ (\bm{x},t)\mapsto\bm{f}の時間変化率が、その函数の物質導関数に相当する
$ \bm{f}の時間変化は$ \bm{f}(\bm{x}+\mathrm{d}\bm r,t+\mathrm{d}t)-\bm{f}(\bm{x},t)である
微小移動量$ \mathrm{d}\bm rは、流速の空間表示$ \bm{u}を使うと$ \mathrm{d}\bm r=\bm{u}\mathrm{d}tと表せる
以上より、$ \bm{f}の時間変化は
$ \bm{f}(\bm{x}+\mathrm{d}\bm r,t+\mathrm{d}t)-\bm{f}(\bm{x},t)=\frac{\partial \bm{f}}{\partial t}\mathrm{d}t+(\mathrm{d}\bm r\cdot\bm{\nabla})\bm{f}
$ =\frac{\partial \bm{f}}{\partial t}\mathrm{d}t+(\bm{u}\cdot\bm{\nabla})\bm{f}\mathrm{d}t
$ \therefore \frac{\mathrm{D}\bm{f}}{\mathrm{D}t}=\frac{\partial \bm{f}}{\partial t}+\bm{u}\cdot\bm{\nabla}\bm{f}
スカラー函数やテンソル函数の場合も全く同じなので略
第二項$ \bm v\cdot\bm{\nabla}\bulletは、対流項や対流微分と呼ばれる 性質
一般的な微分の演算法則が一通り成り立つ
これも表記ゆれが多い
この言い回しはよく使われる