物質微分の演算法則
一般的な微分の四則演算がそのまま成り立つ
和の微分$ \frac{\mathrm D(f+g)}{\mathrm Dt}=\frac{\mathrm Df}{\mathrm Dt}+\frac{\mathrm Dg}{\mathrm Dt} $ \frac{\mathrm Dfg}{\mathrm Dt}=\dot fg+f\dot g+(\bm v\cdot\bm\nabla f)g+f\bm v\cdot\bm\nabla g
$ = \frac{\mathrm Df}{\mathrm Dt}g+f\frac{\mathrm Dg}{\mathrm Dt}
$ \frac{\mathrm D\bm x}{\mathrm Dt}=\bm v
導出
$ \frac{\mathrm{D}\bm x}{\mathrm{D}t}=\left.\left(\frac{\partial\bm\phi(\bm X,t)}{\partial t}\right)\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}=\dot\bm\phi(\bm\phi^{-1}(\bm x,t))=\bm v
もしくは$ \frac{\mathrm{D}\bm x}{\mathrm{D}t}=\dot\bm x+\bm v\cdot\bm\nabla\bm x=\bm0+\bm v=\bm v
$ \frac{\mathrm D\bm\phi^{-1}}{\mathrm Dt}=\bm 0
$ \because\frac{\mathrm{D}\bm\phi^{-1}}{\mathrm{D}t}=\left.\left(\frac{\partial\bm\phi^{-1}(\bm{\phi}(\bm{X},t),t)}{\partial t}\right)\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}=\left.\left(\frac{\partial\bm X}{\partial t}\right)\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}=\bm 0
$ \bm\phi^{-1}の物質表示は物質点$ \bm Xであり、時間変化しない
$ \frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\left(\frac12|\bm v|^2\right)=\bm v\cdot\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}
$ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac12|\bm v|^2\right)=\bm v\cdot\frac{\mathrm d\bm v}{\mathrm dt}と同じ式が成り立つ
同じ計算をどっかのメモに書いた
https://kakeru.app/156054c933478d51cbe62cfc2f971930 https://i.kakeru.app/156054c933478d51cbe62cfc2f971930.svg
一般的に求めようとするとつまづく
https://kakeru.app/3d5e23fd0ac43df3c1567bb4c541ed84 https://i.kakeru.app/3d5e23fd0ac43df3c1567bb4c541ed84.svg