物質微分の演算法則

一般的な微分法則

和の微分$ \frac{\mathrm D(\bm f+\bm g)}{\mathrm Dt}=\frac{\mathrm D\bm f}{\mathrm Dt}+\frac{\mathrm D\bm g}{\mathrm Dt}

$ \frac{\mathrm D\bm f\bm g}{\mathrm Dt}=\dot{\bm f}\bm g+\bm f\dot{\bm g}+(\bm v\cdot\bm\nabla\bm f)\bm g+\bm f\bm v\cdot\bm\nabla\bm g

$ = \frac{\mathrm D\bm f}{\mathrm Dt}\bm g+\bm f\frac{\mathrm D\bm g}{\mathrm Dt}

物質微分特有のもの

from 連続体力学メモ

$ \frac{\mathrm D\bm x}{\mathrm Dt}=\bm v

空間位置$ \bm xの物質微分が空間速度$ \bm vになる

導出

$ \frac{\mathrm{D}\bm x}{\mathrm{D}t}=\left.\left(\frac{\partial\bm\phi(\bm X,t)}{\partial t}\right)\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}=\dot{\bm\phi}(\bm\phi^{-1}(\bm x,t))=\bm v

$ \bm\phi：運動函数

もしくは$ \frac{\mathrm{D}\bm x}{\mathrm{D}t}=\dot{\bm x}+\bm v\cdot\bm\nabla\bm x=\bm0+\bm v=\bm v

$ \frac{\mathrm D\bm\phi^{-1}}{\mathrm Dt}=\bm 0

$ \because\frac{\mathrm{D}\bm\phi^{-1}}{\mathrm{D}t}=\left.\left(\frac{\partial\bm\phi^{-1}(\bm{\phi}(\bm{X},t),t)}{\partial t}\right)\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}=\left.\left(\frac{\partial\bm X}{\partial t}\right)\right|_{\bm{X}=\bm{\phi}^{-1}(\bm{x},t)}=\bm 0

$ \bm\phi^{-1}の物質表示は物質点$ \bm Xであり、時間変化しない

$ \frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\left(\frac12|\bm v|^2\right)=\bm v\cdot\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}

$ \frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\frac12|\bm v|^2\right)=\bm v\cdot\frac{\mathrm d\bm v}{\mathrm dt}と同じ式が成り立つ

同じ計算をどっかのメモに書いた

エネルギー流束の計算に使ったはず

一般的に求めようとするとつまづく

https://kakeru.app/3d5e23fd0ac43df3c1567bb4c541ed84 https://i.kakeru.app/3d5e23fd0ac43df3c1567bb4c541ed84.svg

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