体積変化率の時間導函数の導出試行錯誤メモ

$ \frac\partial{\partial t}\det\pmb\nabla\pmb\phi=\frac16\sum_{i,j,k,l,m,n}\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}\left([\pmb\nabla\dot{\pmb\phi}]^{\sf E\bar E}_{il}[\pmb \nabla\pmb\phi]^{\sf E\bar E}_{jm}[\pmb \nabla\pmb\phi]^{\sf E\bar E}_{kn}+[\pmb\nabla\pmb\phi]^{\sf E\bar E}_{il}[\pmb \nabla\dot{\pmb\phi}]^{\sf E\bar E}_{jm}[\pmb \nabla\pmb\phi]^{\sf E\bar E}_{kn}+[\pmb\nabla\pmb\phi]^{\sf E\bar E}_{il}[\pmb \nabla\pmb\phi]^{\sf E\bar E}_{jm}[\pmb \nabla\dot{\pmb\phi}]^{\sf E\bar E}_{kn}\right)

$ =\frac12\sum_{i,j,k,l,m,n}\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}[\pmb\nabla\dot{\pmb\phi}]^{\sf E\bar E}_{il}[\pmb \nabla\pmb\phi]^{\sf E\bar E}_{jm}[\pmb\nabla\pmb\phi]^{\sf E\bar E}_{kn}

$ =\frac12\sum_{i,j,k,l,m,n,o}\epsilon_{ijk}\epsilon_{lmn}[\pmb l(\pmb\phi,t)]^{\sf E\bar E}_{io}[\pmb\nabla\pmb\phi]^{\sf E\bar E}_{ol}[\pmb \nabla\pmb\phi]^{\sf E\bar E}_{jm}[\pmb\nabla\pmb\phi]^{\sf E\bar E}_{kn}

$ =3\sum_{i,j,k,l}\epsilon_{ijk}[\pmb l(\pmb\phi,t)]_{io}^{\sf E\bar E}F_{o1}F_{j2}F_{k3}

$ = 3

すぐにできなさそうなのでパス

$ \sum_{i,j,k,l}\epsilon_{ijk}B_{il}A_{l1}A_{j2}A_{k3}+\sum_{i,j,k,l}\epsilon_{ijk}A_{i1}B_{jl}A_{l2}A_{k3}+\sum_{i,j,k,l}\epsilon_{ijk}A_{i1}A_{j2}B_{kl}A_{l3}

$ =\sum_{i,j,k,l}\epsilon_{ljk}B_{li}A_{i1}A_{j2}A_{k3}+\sum_{i,j,k,l}\epsilon_{ilk}A_{i1}B_{lj}A_{j2}A_{k3}+\sum_{i,j,k,l}\epsilon_{ijl}A_{i1}A_{j2}B_{lk}A_{k3}

$ =\sum_{i,j,k,l}(\epsilon_{ljk}B_{li}+\epsilon_{ilk}B_{lj}+\epsilon_{ijl}B_{lk})A_{i1}A_{j2}A_{k3}