仕事共役
from 連続体力学メモ
Cauchy応力tensor$ \bm\sigmaと仮想変形速度tensor$ \bm dを使うと、現配置における内部仮想仕事率$ \dot Wは
$ \dot W=\int_{B_t}\bm\sigma:\bm d\mathrm dv
と表される。
この式から、$ \bm\sigma:\bm dが現配置における単位体積あたりの内部仮想仕事率を与える事がわかる
このように、内部仮想仕事を与える応力と変形量との組を「仕事共役な組」という
仕事共役な関係にある量は、$ \bm\sigma,\bm d以外にも見つけられる
Kirchhoff応力tensor$ \bm\tau
$ \dot W=\int_{B_t}\bm\sigma:\bm d\mathrm dv
$ =\int_{B_0}\left.(\bm\sigma:\bm d)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}J\mathrm dV
現配置から基準配置へ変数変換した
$ B_t=\{\bm x\in\R^3|\exist \bm X\in B_0.\bm x=\bm\phi(\bm X,t)\}
$ =\int_{B_0}\left.\left(\left.J\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}\bm\sigma:\bm d\right)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\mathrm dV
$ =\int_{B_0}\left.(\bm\tau:\bm d)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\mathrm dV
$ \bm\tau:=\left.J\right|_{\bm X=\bm\phi^{-1}(\bm x,t)}\bm\sigmaと$ \bm dが基準配置に対して仕事共役になる
基準配置と現配置とで体積が変わるため、単位体積あたりの内部仮想仕事率は一致しない
物体の変形に対して体積が非保存量であるということtakker.icon
ただし、連続体の質量保存則$ \rho_0=\rho Jより、単位質量あたりの内部仮想仕事率は配置に不変となる
$ \frac1{\rho_0}\bm\sigma:\bm d=\frac1\rho\bm\tau:\bm d
「質量保存」則は配置によらず質量が変わらないことを示しているので当然
from 『非線形有限要素法のための連続体力学(第2版)』 p.158 - p.159
第1Piola-Kirchhoff応力tensor$ \bm P
$ \dot W=\int_{B_t}\bm\sigma:\bm d\mathrm dv
$ =\int_{B_0}\left.(\bm\sigma:\bm d)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}J\mathrm dV
$ =\int_{B_0}\left.(\bm\sigma:\bm l)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}J\mathrm dV
$ \bm l：速度勾配tensor
$ =\int_{B_0}\left.\bm\sigma\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}:(\dot\bm F\cdot\bm F^{-1})J\mathrm dV
$ =\int_{B_0}(\left.\bm\sigma\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot J{\bm F^{-1}}^\top):\dot \bm F\mathrm dV
$ =\int_{B_0}\bm P:\dot \bm F\mathrm dV
$ \bm P=\left.\bm\sigma\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot J{\bm F^{-1}}^\topは変形勾配tensorの時間微分$ \dot\bm Fと初期配置について仕事共役となる
Cauchy応力tensor$ \bm\sigmaに面積変化率$ J{\bm F^{-1}}^\topをかけたのが第1Piola-Kirchhoff応力tensorだと解釈できる
非対称tensorであることに注意
第2Piola-Kirchhoff応力tensor$ \bm S
$ \bm S:=J{\bm F}^{-1}\cdot\left.\bm\sigma\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot{\bm F^{-1}}^\top
物理的意味は別述
対称tensorなので取り扱いやすい
$ \bm Sに仕事共役な変形速度量を求める
$ \bm P:\dot \bm F=(\bm F\cdot\bm S):\dot \bm F
$ \because\bm S=\bm F^{-1}\cdot\bm P
$ = \bm S:(\bm F^\top\cdot\dot\bm F)
$ = \bm S:(\bm F^\top\cdot\left.\bm l\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F)
$ = \bm S:(\bm F^\top\cdot\left.\bm d\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot\bm F)
$ \because\bm S^\top=\bm S
$ = \bm S:\dot\bm E
$ \dot\bm E：物質ひずみ速度tensor
共益な変形速度量は物質ひずみ速度tensor$ \dot\bm Eだった
Biot応力tenosr$ \bm T
初期配置について物質stretch tensorの時間導函数$ \dot\bm Uと仕事共役な応力
$ \bm Tの形を求める
$ \bm S:\dot\bm E=\frac12\bm S:\dot\bm C
$ \because \bm E=\frac12(\bm C-\bm I)
$ \bm C：右Cauchy-Green変形tensor
$ =\frac12\bm S:(\dot\bm U\cdot\bm U+\bm U\cdot\dot\bm U)
$ \because\bm C=\bm U^2
$ =\frac12\left(\bm S\cdot\bm U^\top\right):\dot\bm U+\frac12\left(\bm U^\top\cdot\bm S\right):\dot\bm U
$ =\frac12\left(\bm S\cdot\bm U^\top+\bm U^\top\cdot\bm S\right):\dot\bm U
$ =\frac12(\bm S\cdot\bm U+\bm U\cdot\bm S):\dot\bm U
$ \because\bm U^\top=\bm U
$ ={\cal\pmb S}:(\bm S\cdot\bm U):\dot\bm U
以上より、第2Piola-Kirchhoff応力tensor$ \bm Sと物質stretch tensor$ \bm Uで記述される
$ \bm T={\cal\pmb S}:(\bm S\cdot\bm U)
第1Piola-Kirchhoff応力tensor$ \bm Pと回転tensor$ \bm Rでも記述できる
$ \bm T={\cal\pmb S}:(\bm S\cdot\bm U)
$ = {\cal\pmb S}:(\bm U\cdot\bm S)
$ \because\bm S^\top=\bm S\land\bm U^\top=\bm U
$ = {\cal\pmb S}:(\bm U\cdot\bm F^{-1}\cdot\bm P)
$ \because\bm S=\bm F^{-1}\cdot\bm P
$ = {\cal\pmb S:}(\bm U\cdot\bm U^{-1}\cdot\bm R^\top\cdot\bm P)
$ \because\bm F=\bm R\cdot\bm U\land\bm R^{-1}=\bm R^\top
$ = {\cal\pmb S}:(\bm R^\top\cdot\bm P)
比較
$ \dot W=\int_{B_t}\bm\sigma:\bm d\mathrm dv
$ \dot W=\int_{B_0}\left.(\bm\tau:\bm d)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\mathrm dV
$ \dot W=\int_{B_0}\bm P:\dot{\bm F}\mathrm dV
$ \dot W=\int_{B_0}\bm S:\dot{\bm E}\mathrm dV
$ \dot W=\int_{B_0}\bm T:\dot{\bm U}\mathrm dV
References
『非線形有限要素法のための連続体力学(第2版)』 p.158 - p.165
#2024-11-01 10:59:12
#2024-03-31 18:01:39
#2024-01-05 12:33:51