第1Piola-Kirchhoff応力tensor

$ \bm P:=\left.\bm\sigma\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot J{\bm F^{-1}}^\top

Cauchy応力tensor$ \bm{\sigma}の右から面積変化率$ J{\bm F^{-1}}^\topをかけたもの

性質

非対称tensorであることに注意

変形勾配tensorの時間微分$ \dot\bm Fと初期配置について仕事共役をなす

Cauchy応力tensor$ \bm{\sigma}が現配置での微小面積に働く現配置の力を表すのに対し、第1Piola-Kirchhoff応力tensor$ \bm{P}は初期配置での微小面積あたりに働く現配置の力を表す

$ \bm t|\mathrm d\bm a|=\bm\sigma\cdot\mathrm d\bm a

$ \left.\bm t|\mathrm d\bm a|\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}=\bm P\cdot\mathrm d\bm A