面積変化率の時間導函数

$ \frac{\partial}{\partial t}J{\bm F^{-1}}^\top=J\left.{\rm tr}\bm l\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}{\bm F^{-1}}^\top-J{\bm F^{-1}}^\top\cdot\dot{\bm F}^\top\cdot{\bm F^{-1}}^\top

$ = J\left(\left.{\rm tr}\bm l\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\bm I-(\dot\bm F\cdot\bm F^{-1})^\top\right)\cdot{\bm F^{-1}}^\top

$ = \left.(({\rm tr}\bm l)\bm I-\bm l)\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)}\cdot J{\bm F^{-1}}^\top

$ = ((\bm I\bm I-{\cal\pmb I}):\left.\bm l\right|_{\bm x=\bm\phi(\bm X,t)})\cdot J{\bm F^{-1}}^\top

かなり単純な形になった