『圏論の道案内』
https://images-na.ssl-images-amazon.com/images/I/41CRvI%2BLH2L._SX327_BO1,204,203,200_.jpg
著者
結構ミスってるので注意mrsekut.icon
異分野協働なんて、掛け声はきれいだけど「普通できるわけがない」というのである。しかし、もしかしたら圏論はそれをもっと容易にするかもしれない。実際、BaezとStayは、圏論を物理・トポロジー・論理・計算の「ロゼッタ・ストーン」(略)になぞらえた。私は、圏論は数理系諸科学のロゼッタ・ストーンどころの騒ぎではないと思っている。全ての学のロゼッタ・ストーンになるはずだと思うのだ。 -- p.9
1章 道案内の前に
図式
対象と射の関係を図示したもの
よく見る矢印とか書いている図のやつ
2章 圏
対象は一つ
対象は複数
任意の射が可逆
任意の射が可逆でない
https://gyazo.com/a2bba8337d40c8e2b623e778cf57f3f3
3章 関手
4章 自然変換
あまりにも意味がわからないのでいったん飛ばすことにした
5章 普遍性
普遍性は様々な圏で成り立つような概念
鳥のたとえ話は時間が経っても太陽の位置が変わらないことが前提になっている
Aがz軸、Bが(x,y)座標、Xは時間として考えている
ある時間$ xを決めればその時の鳥の位置(x, y, z)が一つに決まると言っている
よくわからないまま終わったので、後で復習したいmrsekut.icon
対象は射、射は「2つの射を結ぶ可換図式」
6章 冪: プログラムの本質
$ ()^Aのようなものは$ ()に任意のものが入る無名関数のようなもの
$ fを引き数に取れば、そのまま$ f^Aになる
点全射
7章 圏論的集合論
一旦眺めたが、頭に入っていないので再読しようmrsekut.icon
8章 随伴
9章 モナド
10章 道案内の後に
伏線回収できなかった話、感謝、参考文献など
量系
量系圏てきな
量とは「kg」とか「km」とか
射は量
合成は加法
恒等射は0のモノイド
「0kg」とか
普通に、3kgという量と、4kgという量を足すことができてしかも可換であることから、こういう具体例になるのねmrsekut.icon
一つの圏は一つの単位
https://gyazo.com/12f4b76fa07e2691d20f1983c2153210
1kgと2kgという射を合成すれば3kgにできる
量系の圏$ \mathrm{Qua}
対象は量系($ M,M')
対象が量系ということは、この圏のなかにkgとかhとかが含まれるということか？
量系間の準同型全体$ \mathrm{Hom}(M,M')も量系
量系と量系の間の射だねmrsekut.icon
つまりこれは関手
「走行時間(h)を表す量」と「走行距離(km)を表す量」の正比例を考えると
走行時間が決まれば、走行距離が決まる
この関係をhからkmへの関手とみなす
例えば10km/hのとき、関手$ f:h\rightarrow kmを考えると
$ f(10+20)=f(10)+f(20)=1000+2000=3000(\mathrm{km})になる
https://gyazo.com/30095820beb99d6969dd1bafe9f2887c
任意の量系$ Mと$ \mathrm{Hom}_\mathrm{Qua}(\mathbb{N},M)はモノイドとして同型
量系間の準同型全体$ \mathrm{Hom}(M,M')も量系
intensive quantity
https://gyazo.com/e1d1806f8ce44593a7bc1380cf57a323
量系から量系への関手は、正比例の関係と捉えることができる
ここで一番上のような何もしない関手0を定めれば、この関手群$ \mathrm{Hom}(km,h)を量系圏と考えることができる
この射は「1単位あたりの量」である内包量だと考えることができる
ref 『圏論の道案内』.icon pp.82-85 関手の例4
$ \tilde{v}(n)=vnの$ nは$ \mathbb{N}の射
$ \tilde{v}は、$ \mathbb{N}から$ Mへの関手
ここでの主張は、「一般の量をモノイド準同型とみなせる」ということ
$ vnだけで$ Mの全ての射を表せることが前提にあるきがする
なんでコレ成り立つ？
ちょっと疑問なのは、$ vと$ 2vの間に入るものはないのか？ってこと
$ v=2なら、$ 2と$ 4の間に$ 3みたいなやつがありそうだけど、
今は無限集合と無限集合の一対一対応の話をしているからそれはどうでもいいのか？
https://gyazo.com/0ecb3a5a614e2efb506fad785d78d601
$ Mは量系圏。つまり可換なモノイド
$ \mathbb{N}も同じ
射を元と考えたときの、写像と捉えることができる
$ vと$ \tilde{v}を同一視できる
こまかい定義を確認する前に、これが何を言っているのかわからない
一つの量系圏の射と考えていたものが、
複数の量系の圏の射とも考えることができる
上の画像の小さい丸まってる矢印が前者、左から右へいってる矢印が後者
これらは完全に一対一対応してるので同一視できる
数系
特殊な量系圏のこと
どう特殊かというと
数系$ Aの量を数と呼ぶ
数系$ Aの射だねmrsekut.icon
p.84の「さて、先ほど」からまじでわからん
これわからないと3章の先よめねえんだよな....
自然数は、可換モノイドから同じ可換モノイドへの準同型