終対象 - mrsekut-p

終対象

terminal object

圏$ \mathscr{A}の対象$ Tについて、$ \mathscr{A}の任意の対象$ Xに対して、$ Xから$ Tへの射が唯一つ存在する時、$ Tを$ \mathscr{A}の終対象という

射は唯一つ。多くても少なくてもだめ

終対象は一つとは限らない

が、複数あればそれらは同型

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終対象を考えることで「集合の要素」を「射」として捉えることができる

集合$ Xの要素は、Setの終対象$ 1から$ Xへの射

空族の直積は終対象のことである

例

前順序集合なら、最大の値があれば、それが終対象

任意の、元が一つの集合なので、複数ある

Setの中の、$ 1と任意の集合$ Xについて考える

このとき、$ Xから$ 1への写像はf x = 1の一つだけ

逆に、$ \emptysetや$ 2が終対象でないこともわかる

$ \emptysetの場合、行き先がないので写像にならない

$ 2の場合、写像が複数存在するので、射が一つにならない