前順序集合
集合$ Sとその上の前順序$ Rの組
前順序集合の例
$ (\mathbb{R}, \le)
$ \leを$ \subseteqに置き換えた構造もある
前順序集合$ (S,\le)は対象$ A\in \mathscr{A}から$ B\in\mathscr{A}への射がたかだか一つであるような圏と考えられる
1個かもしれないし、0個かもしれない
射を$ \leと考える
任意の元$ a,bに対して$ a\le bであるかそうでないかが決まる
対象の間の射の個数は0個か1個。たかだか一つ。
合成
$ a\le bかつ$ b\le cならば$ a\le c
推移律。
合成射と捉えることが出来る
恒等射
任意の$ aに対して、$ a\le a
結合律と単位律
恒等射と捉えることが出来る
各対象に対して$ a\le aにしかならない
この圏の対象$ A,Bの極限$ A\times Bは、$ \mathrm{min}(X,Y)になる 前順序集合間の関手
順序を保つ関手