圏 - mrsekut-p

圏

圏は以下の4つの要素と、2つの条件から構成される

4つ組$ \mathscr{A}=(\mathrm{ob}(\mathscr{A}),\mathscr{A}(A,B),\circ, \mathrm{id})のこと

圏の本質は射

対象ではなく

要素

対象の集まり$ \mathrm{ob}(\mathscr{A})

単に$ \mathscr{A}と表記したりもする

「対象」と聞くとどうしても集合をイメージしてしまいがちだが、集合である必要はない

対象は$ A\in\mathscr{A}

$ \mathscr{A}は「対象の集まり」であって、一つ一つの対象は$ Aなどで表す

プログラミングの型

射の集まり$ \mathscr{A}(X, Y)

各対象$ X, Yに対して「$ \mathscr{A}(X, Y)」は対象$ Xから対象$ Yへの射の集まり

対象の集まり$ \mathscr{A}の中の2つの対象$ X,Yの組が射の集まり$ \mathscr{A}(X,Y)

なので$ Xから$ Yへ行く射にも複数あって、それが$ fだったり、$ gだったりする

この$ fや$ gの集まりが$ \mathscr{A}(X,Y)

https://gyazo.com/3204c78337fd15ee35a9242a78420a27

$ \mathrm{Hom}_\mathscr{A}(X,Y)や$ \mathrm{Hom}(X,Y)とも表記される

$ f\in\mathscr{A}(X, Y)に対し、$ Xを$ fの定義域(domain)、$ Yを$ fの値域(codomain)という

「射」も対象の場合と同じく、関数をイメージしてしまいがちだが、関数である必要はない

プログラミングの関数

恒等射$ \mathrm{id}

合成$ \circ

射の合成

プログラミングの関数合成

条件

恒等射は単位律が成り立つ

$ f \circ \mathbb{id_{A}}=f=\mathbb{id_{B}} \circ f.

射では結合律が成り立つ

$ (h \circ g) \circ f=h \circ(g \circ f).

圏の例

$ \emptyset: 対象と射を持たない圏

参考

元は気にしない。集合と写像に注目する