極限
$ p\in R^n,q\in R^mとし、どんな$ \epsilon\gt0に対しても、$ \delta\gt0で
条件$ x\in B_n(p;\delta)\cap Xかつ$ x\ne pならば$ f(x)\in B_m(q;\epsilon)を満たすものがあるとき
$ xを$ pに近づけたときの$ fの極限は$ qであるという
$ fは$ X\in R^n,Y\in R^m としたときの$ f:X\rightarrow Y
これを$ \lim_{x\rightarrow p}f(x)=qと表す
点列の収束とは
$ \mathbb{R}の点列$ (\alpha_n)_{n\in N}が、実数$ \alphaに収束するというのは、
任意に正数$ \epsilonを与えたとき、それに対してある$ n_0\in Nが存在して、$ n\gt n_0であるすべての$ n\in Nに対し$ |\alpha_n-\alpha|\lt\epsilonが成り立つこと
この$ \alphaは$ (\alpha_n)_{n\in N}の極限であり、$ \lim_{n\rightarrow\infin}\alpha_n=\alphaと表す
任意の距離空間$ (S,d)があり、$ Sの点列$ (a_n)_{n\in N}に対し、$ Sの1点$ aが存在して、$ \lim_{n\rightarrow\infin}d(a_n,a)=0が成り立つとき、$ (a_n)_{n\in N}は$ aに収束するといい、$ \lim_{n\rightarrow\infin}a_n=aと表す このとき$ aを$ (a_n)_{n\in N}の極限という
$ \forall \epsilon > 0 \exists N \forall n [ N < n \Rightarrow \left| A - a _ { n } \right| < \epsilon] .
どんな正数$ \epsilonに対しても、$ \epsilonごとにある自然数$ Nを適切に選べば、どんな自然数$ nに対しても、$ Nが$ nより大きならば、$ a_nは$ Aの$ \epsilon近傍にある、という命題を成り立たさせることができる
$ \lim _ { n \rightarrow \infty } a _ { n } = A.
$ \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x [ 0 < | a - x | < \delta \Rightarrow | A - f ( x ) | < \epsilon] .
どんな正数$ \epsilonに対しても、$ \epsilonごとにある自然数δを適切に選べば、どんな$ xに対しても、$ x\ne aである$ xが$ aの$ \delta近傍にあるならば、$ f(x)は$ Aの$ \epsilon近傍にある、という命題を成り立たさせることができる
$ \lim _ { x \rightarrow a } f ( x ) = A.