圏論の極限 - mrsekut-p

圏論の極限

limit

呼び出すときは普通に「極限」でリンクさせようmrsekut.icon

錐の圏Coneの終対象のことを、「$ J型図式 (圏論)$ Fの極限」と言う

この対象は錐$ (L, \{r\})

もしくは$ Lのみを指して極限と言う

この対象(極限)のことを普遍錐とか極限錐とも言う

universal cone

limiting cone

$ L=\lim_\leftarrow Fと表記する

任意の錐から、極限錐への射を仲介射と言う

$ \mathscr{A}(A,\lim_\leftarrow F)\cong\mathrm{Cones}(A,F)

この式の意味がわからないmrsekut.icon

$ \mathscr{A}(A,\lim_\leftarrow F)って圏？射の集まり？なに？

$ Aは$ \mathscr{A}の任意の対象

$ \congはなんの同値関係？圏同値？

射の集まりかmrsekut.icon

任意の$ Aに対して

$ \mathscr{A}(A,\lim_\leftarrow F)\cong\mathrm{Cones}(A,F)が成り立つ

つまり$ \mathscr{A}(B,\lim_\leftarrow F)\cong\mathrm{Cones}(B,F)

も$ \mathscr{A}(C,\lim_\leftarrow F)\cong\mathrm{Cones}(C,F)

も全て成り立っている

例

特定の添字圏に選んだ場合、その極限には特殊な名前がつくものがある

https://gyazo.com/a594fb11993734861d6b7c7fbdd07ae0

https://gyazo.com/1b9ec6b0daada7fd265ff34abb3093e6

https://gyazo.com/db30c6b0b726ee2a7f49c5a3059ce020

圏$ \mathscr{A}が、全ての小さな圏$ Jに対して、$ J型の極限を持つとき、圏$ \mathscr{A}は完備であると言う

圏論における極限と、集合論、解析に出てくる極限は全く同じもの？

極限を考える際の添字圏ってなんでもいいの？

よくわからんmrsekut.icon

また、ある圏$ \mathscr{A}における極限を見つける際は、

添字圏に何を選ぶかによって無限に異なる極限が出てくる？

逆に言えば、最初に一つの$ A\in\mathscr{A}を選んだあとに、この対象が極限になるように恣意的に添字圏を考えることができる？