関手
Functor
圏と圏の間の矢印のこと関手と呼ぶ
関手は圏と圏の間の対応を、「対象」と「射」の間に取っている
分けて書くなら、
圏$ \mathscr{A}と圏$ \mathscr{B}の間の対応を、「対象」の間に取っている
同時に、圏$ \mathscr{A}と圏$ \mathscr{B}の間の対応を、「射」の間でも取っている
普通の「写像」は集合間の写像、つまり射の間の対応のみを言っている
モノイドでは対象が一つしかないので、「対象間の対応」は考えるまでもなく自明だった
定義
$ \mathscr{A},\mathscr{B}を圏としたとき以下からなる
$ A\to F(A)
$ \mathrm{ob}(\mathscr{A})\rightarrow\mathrm{ob}(\mathscr{B})
$ \mathrm{ob}(\mathscr{A})は対象の集まり
$ f\to F(f)
$ \mathscr{A}(A,A')\rightarrow\mathscr{B}(F(A),F(A'))
以下を満たす
$ \mathscr{A}の射$ f,gの合成$ \circについて、
$ F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)である
$ \mathscr{A}の対象$ Aに対する恒等射$ 1_Aについて、
$ F(1_A)=1_{F(A)}である
つまり、恒等射は恒等射に写される
あえて雑に言っているが意味はわかるだろうmrsekut.icon
対象関数
$ F_o: \mathrm{Ob}(\mathscr{A})\to\mathrm{Ob}(\mathscr{B})
圏$ \mathscr{A}と圏$ \mathscr{B}の間の対応を、「対象」の間に取っている
射関数
$ F_f:\mathscr{A}(A_1,A_2)\to\mathscr{B}(F(A_1),F(A_2))
圏$ \mathscr{A}と圏$ \mathscr{B}の間の対応を、「射」の間に取っている
↑のわかけた間違っているかもmrsekut.icon
「射関数」は↑の2つの関数を合わせたもののこと？
でもそれ関手じゃんmrsekut.icon
簡潔に図にする
https://gyazo.com/dc0987c0ba830d07777eaab76fe65123
対象と射の対応
恒等射は恒等射へ
関数合成は保存される
雑だがこうも換言できる
以下をすべて同時に満たすもの
元は対象
元は射
それでかつ、合成の保存と、恒等射の対応も取る
関手の対応は、単射なのか全射なのかについては定義では言及されていない
つまり、入力側にボッチな対象や射は存在しないが、
出力側には存在しうる
https://gyazo.com/9159e3cf88d39b7926a3b4c0256a67ca
単射でないこともありうる
https://gyazo.com/e1c80ff8c1652c2d96589f54714383f6
例
『圏論入門』.icon pp.16-17
ベシ圏.icon p.26
関連p.34, p.36
参考