充満関手
関手$ F:\mathscr{A}\to\mathscr{B}が充満忠実であるとは
$ (A_1,A_2)\in\mathscr{A}にたいして、
$ F:\mathscr{A}(A_1,A_2)\to\mathscr{B}(F(A_1),F(A_2))が充満になることを言う 対象というよりは、「射についての写像$ F」の全射性と見たほうが理解しやすい
下図は、充満であるが、忠実でない関手$ Fの例
https://gyazo.com/8c31e0770f4b0b4928f903a24f4130ec
緑線が対象の対応
ex. $ F(A)=X
青線が射の対応
ex. $ F(f) = n
$ Z\in\mathscr{B}はボッチになっているが、$ Fはたしかに忠実である。
$ Zはそもそも、$ F(C)=Zになるような$ C\in\mathscr{A}が存在しないので無視していい
ここで注目すべきは、
$ A,Bの間の射と、
その対象の写し先である$ X,Y間の射
のみに着目すればいい
関係ないものを取っ払うと下図のようになり、単射であることがわかる
https://gyazo.com/29c87d03f78352a9ebbaeec4bad339d7