同型
isomorphic
$ \phiが準同型で逆写像を持ち、逆写像も準同型のとき、$ \phiは同型である、という このとき、写像の対象$ G_1,G_2も同型であるといいい、$ G_1 \cong G_2で表記する
定義
2つの準同型$ f,gが存在し、$ f:G\mapsto G',$ g:G'\mapsto Gを満たし、かつ写像の合成が恒等写像となるとき、$ Gと$ G'を同型、という ↑「~となるとき」のとこって、$ fが全単射ってことをいいたい？ 性質
$ \phi:G_1\rightarrow G_2が同型写像なら、
$ x\in G_1と$ \phi(x)\in G_2の位数は同じ $ |G_1|=|G_2|も成り立つ
例
$ \mathbb{Z}_nと$ \mathbb{Z}/\mathbb{Z}_nは環として同型
複数あるように見えてもそれは同型
写像$ \phi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}_\gtを$ \phi(x)=e^xとする
$ \phi(3)=2^3=8, $ \phi(2)=2^2=4であり、$ \phi(3+2)=2^{3+2}=2^32^2=\phi(3)\phi(2)なので$ \phiは準同型
指数関数は$ \mathbb{R}から$ \mathbb{R}_\gtへの全単射なので$ \phiは同型 対象$ Aから対象$ Bへ同型射があるとき、$ Aと$ Bは同型であるという $ A\cong Bと表記
$ Aと$ Bは本質的に同じなので、交換することが可能
言い換えると$ Aから見る圏論的な絵と、$ Bから見る圏論的な絵は全くおなじになる
「圏論的な絵」とは単純に、対象を点、射を矢印で書いたよく見る圏論の図のことを言ってるmrsekut.icon
参考