全単射
bijection
集合$ Xから$ Yへの写像$ fが全射かつ単射
このとき$ Yから$ Xへの写像も定まり、これを$ fの逆写像といい、$ f^{-1}と表記す
全射とか単射とか言ってたときから$ Xから$ Yの写像は前提だったが、逆写像の存在は言えていなかった。が、全単射の条件によって、$ Yから$ Xの写像も定まることになる
$ Xと$ Yの元が重複なく、漏れなく、一対一対応している状態
集合$ Xから$ Yへの写像$ f「全単射であること」と「逆写像が存在すること」は同値
ちゃんと調べてないけど、たぶんそう
逆写像があるということは、$ Yから$ Xへの写像$ gが全単射であることだから
集合$ Xと$ Yの間に全単射があると、$ Xと$ Yの位数は一致する
コレを使って有限集合と無限集合を以下のように定義できる
何らかの自然数$ nに対して、集合$ \{1,2,\cdots,n\}との間に全単射写像が存在する集合を有限集合、そうでない集合を無限集合という