位数 - mrsekut-p

位数

order

群の位数

群$ Gの元の個数

$ |G|と表記

$ x^{|G|}=1_G

群の位数が素数のとき、その群は巡回群になる

元の位数

$ \mathrm{ord}\;{x}と表記

群$ Gの元$ xに対して、$ x^n=1_Gとなる正整数が存在すれば、その中で最小のものを$ xの位数と言う

もし$ x^n=1_Gとなる正の正数がなければ、$ xの位数は$ \infin

この「$ x^n」は積の演算に限らないよmrsekut.icon

例

$ \mathbb{Z}\ni x\ne0の位数は$ \infin

群$ (\{i,-1,-i,1\},*)の位数は

table:ord

元 i -1 -i 1

位数 4 2 4 1

群の位数と、元の位数の関係

有限群$ Gの元$ gの位数は、$ |G|の約数になる

『代数学 1 群論入門』.icon p.70 2.4.5

問. $ Gを群、$ g\in Gを位数60の元とするとき、$ g^{35}の位数を求めよ

考え方

位数は$ g^n=1_Gを満たす最小の正整数$ nということを思い出す

つまり、$ 1_G=g^{60}=g^{120}=g^{180}\cdotsが成り立つわけである

また、いま求めようとしているのは$ (g^{35})^x=1_Gとなる$ xである

つまり$ g^{60n}=g^{35x}を満たす$ xを探せばいい

$ x=\frac{12}{7}nとなるので、$ n=7を代入すれば、最初の$ x =12が得られる

ちなみにここでは最小公倍数を使ってた

解法としてはこっちの方がスマートである

ただ、最初なんで最小公倍数を使うのか全然わからなかったmrsekut.icon

参考