同型射 - mrsekut-p

同型射

isomorphism

可逆な射のこと

定義

$ f:X\rightarrow Yが同型射であるとは、

逆射$ g:Y\rightarrow Xで、$ g\circ f=\mathrm{id}_Xかつ$ f\circ g=\mathrm{id}_Yをみたすものが存在することをいう

$ X,Yの間に同型射$ f:X\to Yが存在するとき、$ Xと$ Yは同型と言う

なんでこの関係が「同型」なのか

なんでこの関係が「本質的に同値」なのか

https://gyazo.com/53478bd447a5c68627617af0c7be3166

射$ h:Z\to Xを考えたときに、$ Xと$ Yが区別できないから、それはすなわち「本質的に同値」ということ

$ g\circ (f\circ h)=(g\circ f)\circ h=hとなり、

$ hと「$ f,gの合成」の合成は、$ hに等しくなる

対象を意識せずに、射と合成だけに注目すると、$ X,Yを区別できない

例

群の圏Grpの同型射は群の同型

どっかのサイトに書いてたことなので正しいかどうかは未確認

参考