圏同値
categorically equivalent
圏と圏の同じさ
圏の圏の同型よりゆるい条件
圏$ \mathscr{A},\mathscr{B}の間に同値関係があるとき、$ \mathscr{A}\simeq\mathscr{B}と表記する https://gyazo.com/9b535a3a6f226159fdf3649810eb3b5e
定義
2つの関手$ F: \mathscr{A}\rightarrow\mathscr{B},$ G:\mathscr{B}\rightarrow\mathscr{A}に対して
関手圏Funの対象として、以下を満たすものが存在する時、圏$ \mathscr{A},\mathscr{B}は圏同値であるという $ G\circ F\cong 1_\mathscr{A},F\circ G\cong1_\mathscr{B}
圏の圏における同型の場合はここが「=」になっている
$ F,Gはなんでもいいからそういう組が一つでも見つけられれば圏同値なの？
自然同型は、関手圏における同型射だったが、
以下のような赤い圏において、以下のような紫の射があるとき、圏同値だという
https://gyazo.com/769274ceae4beb1c26bfd786e70d3ae6
ポイントは関手圏として考えているのは、$ \mathscr{A}^\mathscr{A}と$ \mathscr{B}^\mathscr{B}であるということ
自己関手の間に、同型射としての自然変換が$ \mathscr{A}^\mathscr{A}にも$ \mathscr{B}^\mathscr{B}にも存在するときに
$ \mathscr{A}\cong\mathscr{B}なのである
こういう図式化の仕方もある
https://gyazo.com/edff6ea10eba29ae7db5f85b25d473e6
青色の矢印が自然同型
書いていないが逆射も存在する
$ F:\mathscr{A}\to\mathscr{B}について以下は同値
(1)$ G:\mathscr{B}\to\mathscr{A}が存在して、関手の組$ (F,G)が圏同値$ \mathscr{A}\cong\mathscr{B}を与える
(2)の情報だけでからから(1)を得られるのが嬉しいmrsekut.icon
↑の証明のメモ ref 『圏論入門』.icon p.55
最初
$ \varepsilonは自然同型
→$ \varepsilon_B:B\to FGBは同型射
任意の$ Bに対して。
→$ B\cong FGB
つまり、ぼっち$ Bが存在しようとも、同型な$ FGBが必ず存在するということ？
→? $ Fは、対象について本質的に全射
めっちゃ途中だが、時間かけてちゃんとやりたいmrsekut.icon
https://www.youtube.com/watch?v=2Rugm-STyQg
びっくりわかりやすいmrsekut.icon*2
関連
参考