自然同型 - mrsekut-p

自然同型

natural isomorphism

自然同値, natural equivalenceともいう

「2つの関手が本質的に同じ」ということを表す

自然変換$ \thetaが関手圏Fun$ \mathscr{A}^\mathscr{B}における同型射$ \Leftrightarrow$ \thetaが自然同型

関手圏Funの対象として同型であるような関手を自然同型という

関手圏Funの射として同型射であるような自然変換を自然同型という

つまり、可逆な自然変換

定義

関手圏Funにおける同型射のことを自然同型という

上の定義の同値な言い換え

この自然変換$ \alphaについて、

https://gyazo.com/df7fdc4ae348a79c00e71edfd0bce2e6

以下の2つは同値である

①$ \alphaは自然同型である

②$ \alpha_A: F(A)\to G(A)が各$ A\in\mathscr{A}について、($ \mathscr{B}における)同型射である

マクロ(関手同士)で見たときの同型性と、ミクロ(対象同士)で見たときの同型性が、同じである、という主張mrsekut.icon

証明

「$ Aについて自然に$ F(A)\cong G(A)」とは

関手$ F,G:\mathscr{A}\rightarrow\mathscr{B}について、$ Fと$ Gが自然同型であることをいう

$ F,Gが同型なので、それの写し先である$ F(A),G(A)が同型になるのは、ごくごく自然に見えるねmrsekut.icon

https://www.youtube.com/watch?v=BAtQd5x40Bc

関係性

自然同型、充満忠実関手、圏同値、

本質的に全射、充満関手

関手$ F,G:\mathscr{A}\rightarrow\mathscr{B}ついて、

$ G\circ F =1_\mathscr{A}であることと

$ G\circ F\cong 1_\mathscr{A}であることはどう違うか

これは、「$ G\circ F」と「$ 1_\mathscr{A}」の間に、自然同型$ \alphaが存在すること

$ \alphaはもちろん自然変換