自然変換
https://gyazo.com/817e522d60c6a33eed35dfcc382e5d64
natural transformation
定義
$ \mathscr{A},\mathscr{B}を圏、$ F,G: \mathscr{A}\rightarrow\mathscr{B}を関手とする 2つの関手の定義域と値域が同一であるときのみの話
自然変換$ \alpha: F\rightarrow Gとは
$ \mathscr{B}の射の族$ (F(A)\xrightarrow{\alpha_A} G(A))_{A\in\mathscr{A}}であって、
$ \mathscr{A}の各射$ A\xrightarrow{f}A'について下図が可換になるもののことをいう https://gyazo.com/b7eab579730b423795cd36cfb1b08327
$ \alpha_{A_2}\circ F(f)= G(f)\circ \alpha_{A_1}が成り立つ
$ \mathscr{A}の射$ A\rightarrow A'に対して$ F(A)\rightarrow G(A')が一つ対応する
$ \alpha_Xを$ \alphaの$ X成分という
もちろん$ F(A),F(A'),G(A),G(A')\in \mathscr{B}だよ
概念としての自然変換は上の定義のとおりだが、実体としては
上の例で言うなら圏$ \mathscr{B}の中の(特定の)射の集まりである
「$ F(A)\to G(A)という射の集まり」や「$ F(A')\to G(A')という射の集まり」....の集まりである
自然変換の合成には
圏$ \mathscr{A}と関手$ F,Gがあるとすると、
自然変換$ \alpha:F\Rightarrow Gは、圏$ \mathscr{A}の対象の数個あるってこと？
例
参考