family
とある集合
写像の別表現
定義域が添字集合
添字付けられた元の集まり
別の集合の元に対して「ラベル」付けを行うときの、「ラベル」の集合
添字集合IIIの各元iiiに対して、それぞれ集合AiA_iAiを割り当てる
これを集合族という
{Ai}i∈I\{A_i\}_{i\in I}{Ai}i∈Iと表記する
例えば
discrete category
恒等射以外の射を持たない圏
圏の中に対象は1つ以上あるけど、それらの間には射がないってことか
圏論的DB
データスキーマの圏Schを扱う
table:対応
DB 圏論 Categorical Database
スキーマ 圏 データスキーマの圏Sch
圏論とプログラミングの対応を一覧する
詳細は「まとめ」の欄に記す
基本的な圏の対応
table:基本的な圏の概念の対応
圏論 プログラム まとめ
from 層
presheaf
とある関手
Aop→Set\mathscr{A}^\mathrm{op}\to\mathrm{Set}Aop→Setのこと
定義
from Arrow型クラス
普通の関数(->)をより抽象的なcomputationに変換する
(->)
arrは関手である
fmapと異なり、自己関手にとどまらない
関手の定義を満たす
関手の一般化
https://ncatlab.org/nlab/show/anafunctor
https://blog.miz-ar.info/2019/01/fast-fibonacci/
https://qiita.com/mod_poppo/items/4f78d135bb43b7fd1743
遅延評価を活かす
https://omochist.hatenadiary.org/entry/20060531/1149060300
https://lethevert.hatenadiary.org/entry/20060531/p5
圏論の観点でも、集合の観点でも登場する視点
射を要素として見る視点の逆
集合
元を写像としてみる
任意の集合AAAの元を、1点集合からの写像と見る
identity functor
どの対象も、どの射も自分自身へ移すものとして定まる関手
自己関手の特殊版
Endofunctor
圏A\mathscr{A}Aから同じ圏A\mathscr{A}Aへの関手のこと
注意
ある対象がそれ自身へ写されるとは言っていない
これの制限もあるのが恒等関手
圏論の歴史
19世紀始め
Évariste Galoisの代数的方程式に群を関連付ける研究に圏論的な考え方の萌芽が見られる
20世紀前半
Amalie Emmy Noetherが抽象代数学の定式化
4つ組(T,η,μ,θ)(T,\eta,\mu,\theta)(T,η,μ,θ)のこと
モナド(T,η,μ)(T,\eta,\mu)(T,η,μ)
ストレングスθA,B:A×TB→T(A×B)\theta_{A,B}:A\times TB\to T(A\times B)θA,B:A×TB→T(A×B)
これは自然変換
例
可換図式
quiver
TeXのなんとかというlibrary
Ipe
https://haskell.hatenablog.com/entry/Ipe_drawing-tool-for-commutative-diagrams
abelian group
可換群(commutative group)とも言う
アーベル群でない群は、非可換群という
群GGGの任意の元a,ba, ba,bが可換なら、GGGをアーベル群という
積の演算も可換になる環
環RRRの任意の元a,ba,ba,bが可換ならRRRを可換環と呼ぶ
可換とはab=baab=baab=baが成り立つ性質
つまり交換律を満たす
可換でない環を非可換環と呼ぶ
行列の環Mn(R)
Mn(R)\mathrm{M}_n(\mathbb{R})Mn(R)
from 群
G1,G2,⋯ ,GtG_1,G_2,\cdots,G_tG1,G2,⋯,Gtを群、G=G1×⋯×GtG=G_1\times\cdots\times G_tG=G1×⋯×Gtを集合としての直積とする
つまり、GGGの元は(g1,g2,⋯ ,gt)(g_1,g_2,\cdots,g_t)(g1,g2,⋯,gt)みたいなやつ
g1,g1′∈G1,⋯ ,gt,gt′∈Gtg_1,g_1'\in G_1,\cdots,g_t,g_t'\in G_tg1,g1′∈G1,⋯,gt,gt′∈Gtなら、
(g1,⋯ ,gt)(g1′,⋯ ,gt′)=(g1g1′,⋯ ,gtgt′)\left(g_{1}, \cdots, g_{t}\right)\left(g_{1}^{\prime}, \cdots, g_{t}^{\prime}\right)=\left(g_{1} g_{1}^{\prime}, \cdots, g_{t} g_{t}^{\prime}\right)(g1,⋯,gt)(g1′,⋯,gt′)=(g1g1′,⋯,gtgt′)と定義する
from 『圏論の道案内』
commutative monoid
モノイドであり、射の合成が可換
射f,gf,gf,gに対してf∘g=g∘ff\circ g=g\circ ff∘g=g∘fが成り立つ
射の合成に順序が関係ない
圏論の本
ベシ圏
『圏論の基礎』
『Category Theory for Programmers』
『みんなの圏論』
Yoneda embedding
充満忠実関手という意味での「埋め込み」
格上げされる
対象が、関手へ
射が、自然変換へ
前層XXXの表現は、前層の普遍元と等しい
証明
ベシ圏 p.120]
さほど難しくない
https://togetter.com/li/1457236
small
小圏ともいう
対象の集合も、射の集合も小さい集合であるような圏
圏の射全体の集まりを集合として扱えるような圏
embedding
一般的には単射のことを指すっぽい
揺らぎすぎててよくわからない
全単射のことを指して埋め込みということもある、などなど
充満忠実関手のことを埋め込みと言っても、
前層の元の内、特に普遍なもの
以下の系を満たす前層の元(A,u)(A,u)(A,u)のことを、前層XXXの普遍元と言う
A\mathscr{A}Aを局所小圏とする
前層X:Aop→SetX:\mathscr{A}^\mathrm{op}\to\mathrm{Set}X:Aop→Setの表現は、対象A∈AA\in\mathscr{A}A∈Aと、元u∈X(A)u\in X(A)u∈X(A)で、
各B∈AB\in\mathscr{A}B∈Aとx∈X(B)x\in X(B)x∈X(B)について、
米田の補題の証明
定理再掲
A\mathscr{A}Aを局所的に小さな圏とすると、
[Aop,Set](HA,X)≅X(A)[\mathscr{A}^\mathrm{op},\mathrm{Set}](H_A, X)\cong X(A) [Aop,Set](HA,X)≅X(A) -- (*)
(*)
がA∈AA\in\mathscr{A} A∈AとX∈[Aop,Set]X\in[\mathscr{A}^\mathrm{op},\mathrm{Set}] X∈[Aop,Set]について自然に成り立つ
well-defined的な
関手同士の同型を言うときに、個別の対象について見ても全部成り立ってますよ的なことを言っている
つまり、自然変換の各成分が同型射のとき、その自然変換は同型である
だから、たぶんこれは自然同型の文脈でしか出てこない言い回し #??
参考
from 様々な随伴の定義
最もよくみる定義
言っていることは、随伴のhom集合を用いた定義と同じ
定義の表現の仕方が少しだけ異なる
「自然に成り立つ」を使うか「自然同型」を使うかの違い
convariant functor, はんぺんかんしゅ
圏A\mathscr{A}Aから圏B\mathscr{B}Bへの反変関手とは、関手Aop→B\mathscr{A}^\mathrm{op}\rightarrow \mathscr{B}Aop→Bのこと
A→Bop\mathscr{A}\rightarrow\mathscr{B}^\mathrm{op}A→Bopと書いてもおなじ
(Aop)op=A(\mathscr{A}^\mathrm{op})^\mathrm{op}=\mathscr{A}(Aop)op=A だから